Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lun­gen und Erwartungswerte

Die meis­ten Glücks­spiele sind nicht fair, denn auf lange Sicht gewinnt immer der Betrei­ber des Glücksspiels.

Mit Erwar­tungs­wer­ten lässt sich rech­ne­risch ent­schei­den, ob ein Glücks­spiel faire Chan­cen für alle Spie­ler bie­tet. Es gibt aber eine wich­tige Voraussetzung:

Bei vie­len Zufalls­ex­pe­ri­men­ten besteht die Ergeb­nis­menge aus Zah­len, mit denen wir rech­nen kön­nen. Sol­che Ergeb­nis­men­gen nennt man auch Zufalls­grö­ßen.

Merke: Erwar­tungs­werte kön­nen wir nur bei Zufalls­grö­ßen berechnen.

Bei­spiele

  • Augen­sum­men bei Wür­fel­spie­len mit zwei Würfeln
  • Anzahl der Köpfe, wenn du mehr­mals hin­ter­ein­an­der eine Münze wirfst
  • Noten und Punkte im deut­schen Schulsystem 
  • Kör­per­grö­ßen von Ver­suchs­per­so­nen, z.B. deine Familie

Gegen­bei­spiele

  • Far­ben der Kugeln bei Urnen
  • Kopf- oder Zahl beim Wer­fen einer Münze 
  • Noten im eng­li­schen Schul­sys­tem (A bis F)
  • Geschlecht von Ver­suchs­per­so­nen

Bei den Gegen­bei­spie­len sind die Ergeb­nisse der Zufalls­ver­su­che keine Zah­len, also kön­nen wir auch kei­nen Erwar­tungs­wert berech­nen.

Bei­spiel: Ein­stiegs­auf­gabe S 192

Die bei­den beson­de­ren Wür­fel wer­den nach­ein­an­der gewor­fen und die bei­den Augen­zah­len wer­den addiert. Man erhält so viele 10 Cent-Stü­cke aus­ge­zahlt, wie die Augen­summe ergibt. 

a) Unter­su­che, wel­che Aus­zah­lun­gen mög­lich sind und, mit wel­cher Wahr­schein­lich­keit die ver­schie­de­nen Beträge auf­tre­ten werden.

Wir unter­su­chen zunächst, wel­che Ergeb­nisse beim Wür­feln über­haupt mög­lich sind. Das geht sehr über­sicht­lich mit einer 6 x 6 – Tabelle. Wir notieren:

  • Oben die mög­li­chen Ergeb­nisse des oran­ge­far­be­nen Würfels,
  • auf der lin­ken Seite die mög­li­chen Ergeb­nisse des grü­nen Würfels. 
  • Im Inne­ren der Tabelle notie­ren wir die mög­li­chen Auszahlungen.
  • Wir mar­kie­ren jeweils gleich Aus­zah­lun­gen mit glei­chen Far­ben, dann kön­nen wir sie leich­ter abzählen.
Wenn der grüne Wür­fel z.B. eine 5 zeigt und der oran­ge­far­bene Wür­fel eine 2, gibt es einen Gewinn von 70 Cent. Der Gewinn von 70 Cent kommt 6‑mal vor, der Gewinn von z.B. 20 Cent nur ein­mal. Ins­ge­samt gibt es 36 ver­schie­dene Ergebnisse.

Die Zufalls­größe X = {20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100; 110; 120} umfasst 11 ver­schie­dene Ele­mente. Mit einer wei­te­ren Tabelle kön­nen wir die Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung bestimmen. 

X = kHäu­fig­keit NP(X = k)
201 \frac{1}{36}
302 \frac{2}{36}
403 \frac{3}{36}
504 \frac{4}{36}
605 \frac{5}{36}
706 \frac{6}{36}
805 \frac{5}{36}
904 \frac{4}{36}
1003 \frac{3}{36}
1102 \frac{2}{36}
1201 \frac{1}{36}
361
Die Zufalls­größe X ist der Betrag, der aus­ge­zahlt wird. N steht für die Häu­fig­keit, mit der jeder Betrag auf­tritt. P(X = k) gibt die Wahr­schein­lich­keit an, mit der die Zufalls­größe X den Wert k annimmt. Das Zei­chen ∑ (Sigma) ist das grie­chi­sche Zei­chen für S. Es steht in der Mathe­ma­tik für die Summe. Damit kön­nen wir leicht kon­trol­lie­ren, ob die Wahr­schein­lich­kei­ten rich­tig berech­net wurden.

Der Erwar­tungs­wert ist der mitt­lere Wert der Zufalls­größe, der sich bei vie­len Wie­der­ho­lun­gen eines Expe­ri­ments mit Zufalls­grö­ßen ein­stellt. Z.B. bei einem gewöhn­li­chen Wür­fel ist der Erwar­tungs­wert gleich 3,5. Wenn wir den Wür­fel 100-Mal wer­fen, kön­nen wir im Mit­tel unse­ren Spiel­stein 100⋅3,5 = 350 Fel­der vorsetzen.

Im Bei­spiel der Ein­stiegs­auf­ga­ben auf Seite 192 b) soll ent­schie­den wer­den, ob das Spiel fair ist bei einem Ein­satz von 70 Cent. Dazu muss ent­schei­den wer­den, wel­cher Aus­zah­lungs­be­trag im Mit­tel erwar­tet wer­den kann, wenn wir das Spiel sehr oft wie­der­ho­len. Bei die­ser Ent­schei­dung müs­sen wir den Erwar­tungs­wert der Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung berechnen.

Der Erwar­tungs­wert einer Zufallsgröße

Das geht am bes­ten wie­der mit einer Tabelle. Hier hilft uns auch das Sum­men­zei­chen ∑ in der letz­ten Zeile. 

X = kP(X = k)k⋅P(X = k)
20 \frac{1}{36} 20\cdot \frac{1}{36}
30 \frac{2}{36} 30\cdot \frac{2}{36}
40 \frac{3}{36} 40\cdot \frac{3}{36}
50 \frac{4}{36} 50\cdot \frac{4}{36}
60 \frac{5}{36} 60\cdot \frac{5}{36}
70 \frac{6}{36} 70\cdot \frac{6}{36}
80 \frac{5}{36} 80\cdot \frac{5}{36}
90 \frac{4}{36} 90\cdot \frac{4}{36}
100 \frac{3}{36} 100\cdot \frac{3}{36}
110 \frac{2}{36} 110\cdot \frac{2}{36}
120 \frac{1}{36} 120\cdot \frac{1}{36}
1 \frac{2520}{36}=70
In die­ser Tabelle wur­den die Häu­fig­kei­ten weg gelas­sen aber die Spalte k⋅P(X = k) ergänzt. Dort mul­ti­pli­zie­ren wir immer den Wert X = k der Zufalls­größe mit der zuge­hö­ri­gen Wahr­schein­lich­keit P(X = k). In der letz­ten Zeile bil­den wir die Summe. Es zeigt sich, das wir im Mit­tel eine Aus­zah­lung von 70 Cent erwar­ten kön­nen. Das Spiel ist fair.
  1. Nenne jeweils fünf wei­tere Bei­spiele für Zufalls­grö­ßen. Finde auch sol­che, die keine ganz­zah­li­gen Ergeb­nisse haben. 
  2. Nenne wei­tere fünf Gegen­bei­spiele, d.h. Zufalls­ver­su­che, die keine Zufalls­grö­ßen sind.
  3. Bestimme die Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lun­gen und die Erwar­tungs­werte für: 
    1. Die Zufalls­größe X beschreibt die Augen­summe zweier gewöhn­li­cher Wür­fel. Arbeite wie in der Ein­stiegs­auf­gabe. Stelle die Ergeb­nisse über­sicht­lich in einer Tabelle dar.
    2. Wenn du eine gewöhn­li­che Münze vier­mal hin­ter­ein­an­der wirfst, kann es pas­sie­ren, dass über­haupt kein­mal Kopf fällt, oder nur 1‑mal oder 2‑mal oder … Die Zufalls­größe X steht für die mög­li­che Anzahl der Köpfe beim vier­ma­li­gen Wer­fen einer Münze. Zeichne ein Baum­dia­gramm mit vier Stu­fen (du brauchst die Wahr­schein­lich­kei­ten nicht an die Pfade zu schrei­ben). Mar­kiere jeweils Pfade in einer Farbe, die zu den Ereig­nis­sen: 0‑mal Kopf, 1‑mal Kopf, 2‑mal Kopf etc. füh­ren. Zähle ab, wie viele Pfade jeweils zu dem Ereig­nis füh­ren. Damit kannst du die Wahr­schein­lich­kei­ten P(X = k) als Bruch bestim­men. Stelle nun wie­der die Berech­nung des Erwar­tungs­wer­tes in einer Tabelle dar.
  4. Bear­beite die Auf­ga­ben 1 bis 4 auf Seite 194.

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2 Kommentare

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Nein, hier geht es ein­fach um die Augen­summe, wie beim Mono­poly-Spiel. Du kannst aber auch solch eine 6 x 6 ‑Tabelle nutzen.

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