Vier­fel­der­ta­feln und Baumdiagramme

Wir haben bis­her mit Wür­feln, Urnen, Glücks­rä­dern etc. nur ein­fa­che Modelle der Wahr­schein­lich­keits­rech­nung ken­nen­ge­lernt. Wir kön­nen aber auch Zusam­men­hänge in der Medi­zin, den Gesell­schafts­wis­sen­schaf­ten oder der Wirt­schaft mit den Metho­den der Wahr­schein­lich­keits­rech­nung unter­su­chen. In die­sen Berei­chen spricht man nicht von Zufalls­ver­su­chen und Ergeb­nis­sen, son­dern von Merk­ma­len und Aus­prä­gun­gen.

In die­sem Bei­trag wol­len wir ler­nen, wie sich Merk­male und Aus­prä­gun­gen über­sicht­lich dar­stel­len lassen.

Häu­fig wer­den Eigen­schaf­ten von Ver­suchs­per­so­nen unter­sucht, deren mög­li­che Ergeb­nisse bereits vor­her bekannt sind, bei einer bestimm­ten Ver­suchs­per­son jedoch nicht vor­her­ge­sagt wer­den kön­nen. Wir haben ein klas­si­schen Zufalls­ex­pe­ri­ment, ähn­lich einem Glücksspiel. 

Die unter­such­ten Eigen­schaf­ten wer­den häu­fig mit dem Begriff Merk­mal bezeich­net. Die mög­li­chen Ergeb­nisse nennt man in die­sem Kon­text Aus­prä­gun­gen.

Bei­spiel

Ein Merk­mal von Ver­suchs­per­so­nen kann die Blut­gruppe sein.

Mög­li­che Aus­prä­gun­gen sind die Blut­grup­pen A, B, AB, 0.

Inner­halb einer Stich­probe von Men­schen gibt es Wahr­schein­lich­kei­ten für das Auf­tre­ten der jewei­li­gen Ausprägung.

Doku­men­ta­tion

Wir wol­len uns immer aus­sa­ge­kräf­tige aber knappe Begriffe für unsere Merk­male im Heft notie­ren. Ebenso für die mög­li­chen Aus­prä­gun­gen:

  • Merk­mal: Blut­gruppe
  • Aus­prä­gun­gen: A, B, AB, 0

Diese Begriffe die­nen als Über­schrif­ten für unsere Baum­dia­gramme und Vier­fel­der­ta­feln (siehe wei­ter unten).

„Tes­ten, Tes­ten, Tes­ten” emp­fiehlt das Bun­des­mi­nis­te­rium für Gesund­heit. Dar­un­ter ver­steht man einen soge­nann­ten PCR-Test, der eine akute Erkran­kung an COVID-19 nach­wei­sen kann. Der PCR-Test ist auch des­halb so wich­tig, weil die Erkran­kung bei vie­len Per­so­nen ohne Sym­ptome ver­lau­fen kann.

Sehr wich­tig ist aber auch ein Test auf Anti­kör­per, mit dem nach­ge­wie­sen wer­den kann, ob eine Ver­suchs­per­son die COVID-19 Erkran­kung bereits über­stan­den hat und somit eine Immu­ni­tät gegen eine wei­tere Anste­ckung vorliegt.

Sen­si­ti­vi­tät, Spe­zi­fi­tät, Prävalenz

Medi­zi­ni­sche Test­ver­fah­ren müs­sen sehr genau geprüft wer­den, denn es gibt immer mög­li­che Feh­ler­quel­len. Das Test­ergeb­nis könnte ein falsch posi­ti­ves Resul­tat erzie­len und eine Immu­ni­tät sug­ge­rie­ren, die gar nicht vor­han­den ist. Oder es könnte ein falsch nega­ti­ves Resul­tat ent­ste­hen, das eine Immu­ni­tät nicht erkennt, obwohl sie vor­han­den ist.

Anga­ben über die Zuver­läs­sig­keit von Tests machen zwei Parameter:

Wir betrach­ten in die­ser Auf­gabe den Test Euro­im­mun IgA ELISA, der eine Sen­si­ti­vi­tät von 90% und eine Spe­zi­fi­tät von 93% aufweist.

Im Falle von COVID-19 ist die Prä­va­lenz für Deutsch­land noch weit­ge­hend unbekannt. 

In die­ser Auf­gabe wol­len wir mit Daten aus Island arbei­ten, wo (im Mai 2020) eine Prä­va­lenz von 0,84% gemes­sen wurde (Quelle: Ein sehr lesens­wer­ter Arti­kel in Quarks.de tippe auf „und jetzt?”, um direkt zu der Prä­va­lenz zu kom­men). Wir gehen davon aus, dass alle Per­so­nen nach der Erkran­kung eine Immu­ni­tät auf­wei­sen. Es ist noch nicht völ­lig geklärt, ob diese Annahme zu trifft. Wir gehen fer­ner davon aus, dass alle Erkrank­ten wie­der gene­sen sind. 

Merk­male des Antikörpertests

Wir stel­len zwei Merk­male fest, die leicht ver­wech­selt wer­den kön­nen. Des­halb müs­sen sie sorg­fäl­tig doku­men­tiert werden:

  • Merk­mal 1: Test­ergeb­nis mit den Aus­prä­gun­gen Pos. und Neg.
  • Merk­mal 2: Immu­ni­tät mit den Aus­prä­gun­gen \bold{Imm.} und \bold{\overline{Imm.}}

Wir kür­zen die Aus­prä­gun­gen sinn­voll ab, damit wir sie über­sicht­lich in unse­ren Baum­dia­gram­men dar­stel­len kön­nen. Alter­na­tive Abkür­zun­gen sind denkbar.

Wenn du den Begriff Krank­heit im Video durch Immu­ni­tät ersetzt kannst du die Infor­ma­tio­nen des Videos gut auf unser Bei­spiel anwenden.

Wir kön­nen Baum­dia­gramm immer auf zwei ver­schie­dene Wei­sen auf­stel­len, indem wir die Rei­hen­folge der Merk­male ver­tau­schen. In unse­rem Bei­spiel könn­ten wir erst das Test­ergeb­nis und dann die Immu­ni­tät dar­stel­len oder umge­kehrt. Wir ent­schei­den uns für eine die­ser Dar­stel­lun­gen, indem wir ana­ly­sie­ren, wel­che Anga­ben in der Auf­gabe vorliegen.

Um den Baum auf­zu­stel­len und zu beschrif­ten, benö­ti­gen wir die Wahr­schein­lich­kei­ten für eines der Merk­male. Unsere Auf­gabe gibt uns die Prä­va­lenz vor und wir gehen davon aus, dass die Prä­va­lenz ein Maß für die Immu­ni­tät in der Bevöl­ke­rung dar­stellt. Somit kön­nen wir das Merk­mal Immu­ni­tät als erste Stufe im Baum verwenden. 

Tipp: Gib im Baum­dia­gramm die Wahr­schein­lich­kei­ten nicht als Pro­zent­zahl son­dern als Dezi­mal­zahl an, gerun­det auf 4 gül­tige Stel­len hin­ter dem Komma. In der Ant­wort ver­wen­den wir Pro­zent­zah­len, gerun­det auf eine Stelle hin­ter dem Komma.

Das Merk­mal Test­ergeb­nis kön­nen wir nicht als erste Stufe ver­wen­den. Denn wir ken­nen nicht die Wahr­schein­lich­keit für ein posi­ti­ves Ergeb­nis aller Ver­suchs­per­so­nen, son­dern nur die Wahr­schein­lich­keit für Ver­suchs­per­so­nen die bekann­ter­ma­ßen immun sind.

Inter­pre­ta­tion

Der Anti­kör­per­test ist gut geeig­net, um eine ver­gan­gene Infek­tion aus­zu­schlie­ßen, denn es lässt sich mit gro­ßer Sicher­heit das Vor­han­den­sein einer Immu­ni­tät ausschließen.

Weni­ger gut eig­net sich der Test um eine Immu­ni­tät nach­zu­wei­sen. Bei einem posi­ti­ven Resul­tat des Tests liegt die Wahr­schein­lich­keit dafür, dass die Immu­ni­tät besteht nur bei knapp unter 10%. Das bedeu­tet, aus einem ein­zel­nen posi­ti­ven Test­ergeb­nis lässt sich über­haupt kein Rück­schluss ziehen. 

Der Grund dafür liegt in der nied­ri­gen Prä­va­lenz: Die Wahr­schein­lich­keit für ein feh­ler­haf­tes Test­re­sul­tat ist wesent­lich grö­ßer, als die Wahr­schein­lich­keit für das Vor­han­den­sein der Immunität. 

Die Vier­fel­der­ta­fel ist eine häu­fig genutzte Form, die Wahr­schein­lich­kei­ten für zwei Merk­male mit jeweils zwei Aus­prä­gun­gen dar­zu­stel­len. Tat­säch­lich hat die Vier­fel­der­ta­fel wesent­lich mehr als vier Fel­der, im Zen­trum sind jedoch 2 · 2 = 4 Fel­der, die die Wahr­schein­lich­kei­ten der vier mög­li­chen Kom­bi­na­tio­nen zei­gen. In den Rand­fel­dern wer­den Sum­men über die Zei­len oder Spal­ten der 4 Fel­der gebildet. 

Kon­trolle: Ganz unten rechts steht im Rah­men der Run­dung immer die 1.

Falls es mehr als zwei Aus­prä­gun­gen gibt, wer­den Mehr­fel­der­ta­feln ein­ge­setzt.

Oben steht das Merk­mal Immu­ni­tät mit sei­nen Aus­prä­gun­gen und links das Merk­mal Test­ergeb­nis. Im Zen­trum sind die 4 Fel­der mit den sel­ben Wahr­schein­lich­kei­ten die rechts am Baum­dia­gramm ste­hen. In den Rand­fel­dern sind die Sum­men der Zei­len und Spal­ten. Wir erken­nen z.B. die Prä­va­lenz von 0,84% im grü­nen Sum­men­feld.
Rechts unten muss als Kon­trolle immer 1 herauskommen.
  1. Notiere die wich­ti­gen Para­me­ter der Auf­ga­ben­stel­lung und zeichne die bei­den Baum­dia­gramme ins Heft. Rechne die Wahr­schein­lich­kei­ten selbst­tä­tig nach. Über­trage auch die Vier­fel­der­ta­fel in dein Heft.
  2. Der Test Euro­im­mun IgG ELISA prüft auf einen ande­ren Anti­kör­per. Er weist eine Spe­zi­fi­tät von 96% bei einer Sen­si­ti­vi­tät von nur 65% auf. Unter­su­che die Wahr­schein­lich­keit für das Vor­lie­gen einer Immu­ni­tät bei posi­ti­vem Test­re­sul­tat. Nimm dazu die glei­che Prä­va­lenz von 0,84% an wie im Bei­spiel. Doku­men­tiere deine Rechnungen.
  3. Eine Ver­suchs­per­son bekommt ein posi­ti­ves Test­re­sul­tat mit dem Euro­im­mun IgA ELISA aus dem Bei­spiel. Wir kön­nen dar­aus schlie­ßen, dass die Wahr­schein­lich­keit für eine Immu­ni­tät bei die­ser Per­son nicht mehr bei 0,84% liegt, son­dern auf 9,82% ange­wach­sen ist. Der Test wird mit unver­än­der­ter Sen­si­ti­vi­tät und Spe­zi­fi­tät wie­der­holt. Unter­su­che die Wahr­schein­lich­keit für das Vor­lie­gen einer Immu­ni­tät bei posi­ti­vem Resul­tat. Gehe dies­mal von einer Prä­va­lenz von 9,82% aus. Doku­men­tiere deine Rechnungen.

Vie­len Dank an Rebekka für die schöne Lösung.

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