Übun­gen zum Gra­vi­ta­ti­ons­ge­setz

Die Gra­vi­ta­ti­ons­dreh­waage nach Caven­dish

Auf­gabe: Beschreibe Cavendish’s Expe­ri­ment mit einer Skizze im Heft.

Mus­ter­auf­gabe

  1. Bestim­men Sie jeweils die Masse der Erde mE nur aus den ange­ge­be­nen Wer­ten.
    1. Umfang der Erde UE = 40.000 km und Erd­be­schleu­ni­gung g = 9,81 m/s² = 9,81 N/kg,
    2. Abstand Erde – Mond: r = 60,3·rE und Umlauf­dauer des Mon­des T = 27,1 Tage.
  • Geg: UE = 40.000 km = 40.000.000 m; g = 9,81 m/s².
    Ges.: Die Erd­masse mE in kg.     
  • Wir berech­nen zunächst den Erd­ra­dius:
    rE = UE /2π ≈ 6.370.000 m = 6.370 km.
  • Es ist keine Masse gege­ben, daher neh­men wir z.B. die Masse m1 = 1 kg an.
    m2 im Gra­vitationsgesetz ist die gesuchte Erd­masse mE.
  • Das Gra­vi­ta­ti­ons­ge­setz gilt auch auf der Erd­ober­flä­che.
    Dort ist r = rE: Fg=\gamma\cdot \frac{m_1\cdot m_E}{r_E^2} .
  • F_g =m_1\cdot g ist die Kraft, die auf die Masse m1 an der Erd­ober­flä­che ein­wirkt.
  • Wir set­zen die­sen Term auf die linke Seite des Gra­vi­ta­ti­ons­ge­set­zes und lösen nach mE auf:
    m_1\cdot g=\gamma\cdot \frac{m_1\cdot m_E}{r_E^2} \ |: m_1 :\gamma \cdot r^2 \Rightarrow
    m_E=\frac{g\cdot r^2}{\gamma}, (m1 kürzt sich weg).
  • Jetzt erst berech­nen wir den Term mit dem GTR:
    m_E= \frac{9{,}81 m/s^2\cdot (6.370.000 m)^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}m^3/kgs^2}=5{,}97\cdot 10^{24} kg
  • Ant­wort: Die Erd­masse beträgt ca. mE = 6·1024 kg.

  • Geg.: r=60{,}3\cdot r_E; \ T = 27{,}1 Tage.
    Ges.: Die Erd­masse mE in kg.
  • Wir rech­nen zunächst die gege­be­nen Grö­ßen in die „phy­si­ka­li­schen“ Ein­hei­ten kg-m‑s um:
    r=60{,}3\cdot r_E=60{,}3\cdot 6.370.000 m=\bold{3{,}84\cdot 10^8 m} .
    T = 27{,}1 Tage =2{,}34\cdot 10^6 s.
  • Der Mond umkreist die Erde im Abstand r. Daher muss eine Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gung a_z=\omega^2\cdot \bold r auf den Mond ein­wir­ken. Wir berech­nen zunächst die Kreis­fre­quenz:
    \omega = 2\pi\cdot f =\frac{2\pi}{T}=\bold{2{,}69\cdot 10^{-6}Hz}.
  • Die Masse des Mon­des mM ken­nen wir nicht. Auf den Mond wirkt die Zen­tri­pe­tal­kraft F_z=m_M\cdot a_z = m_M\cdot \omega^2\cdot r ein.
  • Diese Kraft kann nur durch die Gra­vi­ta­tion der Erde bewirkt wer­den: F_z=F_g \Rightarrow
    m_M\cdot \omega^2\cdot r=\gamma\cdot \frac{m_M\cdot m_E}{r^2}\Rightarrow (mM kürzt sich her­aus)
    m_E=\frac{\omega^2\cdot r^3}{\gamma}=6{,}14\cdot 10^{24}kg\approx\bold{6\cdot 10^{24}kg} .

Übun­gen

  1. Bestim­men Sie die Masse mS der Sonne nur aus den fol­gen­den Anga­ben: Umlauf­dauer der Erde um die Sonne T = 365,26 Tage und Abstand Erde – Sonne r = 1,496·1011 m (eine astro­no­mi­sche Ein­heit).
  2. Vom Mars­mond Pho­bos sind die fol­gen­den Daten bekannt: mitt­lere Ent­fer­nung vom Mars ca. 9380 km, Umlauf­dauer 0,32 Tage. Der mitt­lere Durch­mes­ser des Mars beträgt 6760 km. Bestim­men Sie allein aus die­sen Anga­ben die Gewichts­kraft eines „grü­nen Männ­chens“ der Masse 10 kg auf der Mars­ober­flä­che.
  3. Der Mars­mond Dei­mos umkreist den Mars (mMars = 6,40·1023 kg) auf einer Kreis­bahn mit dem Radius r = 23,5·103 km.
    1. Mit wel­cher Geschwin­dig­keit umrun­det Dei­mos den Mars?
    2. Wie lange braucht Dei­mos für einen Mars­um­lauf?
  4. Ein Fern­seh- oder Wet­ter­sa­tel­lit muss sich immer über der­sel­ben Stelle über der Erd­ober­flä­che befin­den. Man nennt sol­che Satel­li­ten auch geo­sta­tio­när. In wel­cher Höhe über der Erd­ober­flä­che muss sich ein sol­cher Satel­lit befin­den?

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