Über­bu­chun­gen

Flug­ti­ckets für Geschäfts­rei­sende kön­nen kos­ten­los umge­bucht wer­den, damit die Flug­gäste fle­xi­bel auf frü­here oder spä­tere Flüge wech­seln kön­nen. In Folge des­sen erschei­nen zahl­rei­che Flug­gäste nicht zu dem von ihnen gebuch­ten Flug (im Flie­ger­jar­gon: No Shows) und die Flug­ge­sell­schaf­ten müs­sen mit Ver­lus­ten durch schlecht aus­ge­las­tete Flüge rechnen. 

Um die­sem Pro­blem ent­ge­gen­zu­wir­ken, grei­fen die Flug­ge­sell­schaf­ten zu der Tech­nik der Über­bu­chung: Es wer­den mehr Tickets ver­kauft als Plätze zur Ver­fü­gung ste­hen. Dabei besteht das Risiko, dass Flug­gäste auf ihrem gebuch­ten Flug kei­nen Platz mehr bekom­men. Bei rich­ti­ger Anwen­dung bleibt die­ses Risiko jedoch über­schau­bar, und die Flug­ge­sell­schaft kann Ver­luste durch man­gelnde Aus­las­tung ver­rin­gern. Die Umwelt pro­fi­tiert eben­falls von die­sem Verfahren. 

Bei­spiel

Auf einer täg­lich ope­rie­ren­den Flug­li­nie wird eine Maschine mit 100 Plät­zen ein­ge­setzt. Typi­scher­weise gibt es 20% No Shows auf die­sem Flug. Die Zufalls­größe X beschreibt die Anzahl der tat­säch­lich erschei­nen­den Flug­gäste an einem bestimm­ten Tag.

Auf­ga­ben

1. Stelle die Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung der Zufalls­größe X aus dem Bei­spiel wie abge­bil­det auf dem GTR dar.
   Tipps:
   • Nutze im Menu 2, in der List1 die Funk­tion OPTN LIST SEQ(x,x,60,100,1)
   • Stelle GRAPH1 auf die Funk­tion Hist ein.
   • Zeichne den Gra­phen mit Start: 60 und Width 1
2. Erläu­tere an Hand des Gra­phen, warum eine Buchung mit 100 Tickets bei 100 Plät­zen weder für die Flug­ge­sell­schaft, noch für die Umwelt zuträg­lich ist.
3. Schlage eine alter­na­tive Stra­te­gie für die Flug­ge­sell­schaft vor, die zu einer bes­se­ren Aus­las­tung füh­ren kann. Stelle die Ver­tei­lung der Zufalls­größe gra­phisch dar.

Die Flug­ge­sell­schaft muss eine Grat­wan­de­rung durch­füh­ren, mit den sich wider­spre­chen­den Zie­len, die Aus­las­tung zu maxi­mie­ren aber gleich­zei­tig die Kun­den­zu­frie­den­heit zu erhal­ten, indem nicht zu vie­len Flug­gäs­ten kein Platz mehr ange­bo­ten wird. Die Gesell­schaft möchte so viele Tickets ver­kau­fen, dass das Risiko, Flug­gäs­ten keine Plätze mehr anbie­ten zu kön­nen, gerin­ger als 5% (bzw. 1%) wird.

4. Bestimme eine ideale Anzahl n von Tickets, so dass die Wahr­schein­lich­keit P_{0,8; n}(X > 100) gerade unter dem gefor­der­ten Risiko von 5% (bzw. 1%) bleibt. Berechne die dazu gehö­rige erwar­tete Aus­las­tung der Maschine.
   
   Tipps:
   • Diese Auf­gabe lässt sich durch sys­te­ma­ti­sches Pro­bie­ren mit der kumu­lier­ten Bino­mi­al­ver­tei­lung lösen.
   • Nutze im Menu 2 die Funk­tion DIST BINOMIAL Bcd vari­iere die Zahl n der Tickets.
   • Doku­men­tiere unbe­dingt den Pro­zess des sys­te­ma­ti­schen Pro­bie­rens, indem du die ideale Anzahl n der Tickets notierst mit der zuge­hö­ri­gen Wahr­schein­lich­keit P_{0,8; n}(X > 100) . Notiere eben­falls n-1 und n+1 mit den zuge­hö­ri­gen Wahrscheinlichkeiten.

Hin­weis: Ab dem Abitur 2021 wei­sen Sto­chas­tik­auf­ga­ben einen gerin­ge­ren Umfang auf mit nur noch 20 statt 40 Bewertungseinheiten.