In der zentralen Klausur aber auch im Abitur kommen immer wieder Aufgaben vor, in denen der Funktionsgraph verschoben, gestreckt, gestaucht oder gespiegelt wird. Dabei verändert sich der Graph und der Funktionsterm.
Einige dieser Transformationen kennen wir von den Parabeln aus der 9. Klasse. Wir wollen diese Techniken auf ganzrationale Funktionen erweitern.
Wir betrachten als Beispiel die ganzrationale Funktion .
f(x)=x^3-2\cdot x^{2}+1.Aufgaben
- Nutze das Funktionenlabor unten und beobachte, wie sich die einzelnen Zahlen auf den Graph auswirken. Notiere dir Merkregeln im Heft, kontrolliere mit den versteckten Regeln weiter unten im Beitrag.
Betrachte wieder die Funktion f(x)=x^3-2\cdot x^{2}+1 und notiere die Funktionsterme f_{neu}(x) im Heft, die entstehen, wenn du folgende Transformationen mit dem Graphen der Funktion f(x) durchführst. Kontrolliere mit dem GTR.
- Verschiebe den Graph um 2 Einheiten nach oben.
- Verschiebe den Graph um 1 Einheit nach unten und um 3 Einheiten nach links.
- Stauche den Graph um den Faktor \frac{1}{2} längs der y‑Achse und verschiebe dann um 1 Einheiten nach unten. Beachte die Reihenfolge der Transformationen. Was passiert, wenn du erst verschiebst und dann stauchst.
- Stauche den Graph um den Faktor 2 längs der x‑Achse (das ist neu, siehe unten).
- Notiere im Heft, durch welche Transformationen die folgenden Graphen der Funktion f_{neu} aus dem Graph der Funktion f(x) hervorgegangen sind. Notiere auch die zugehörigen Funktionsterme.
Hinweis: Bei 6 a) bis c) werden immer zwei Transformationen kombiniert. Bei 6 d) gibt es nur eine Transformation.
Tipps: Du kannst die Verschiebungen, Streckungen bzw. Spiegelungen am besten an den Extrempunkten erkennen:
- Verändert sich nur die Lage von HP und TP: Dann ist es eine Verschiebung.
- Verändert sich der Abstand von HP und TP: Dann gibt es eine Streckung bzw. Stauchung in x- oder y‑Richtung.
- Wird aus einem HP ein TP und umgekehrt: Dann gibt es eine Spieglung an der x‑Achse.
- Vertauschen HP und TP ihre Reihenfolge (rechts ⇆ links), gibt es eine Spiegelung an der y‑Achse.
Die verschobene Funktion entsteht durch Addition einer Zahl \textcolor{#ff6600}{e} zum Funktionsterm von f(x) :
f_{neu}=f(x)+\textcolor{#ff6600}{e}\\[5pt]
f_{neu}=x^3-2\cdot x^2+1+\textcolor{#ff6600}{e}- \textcolor{#ff6600}{e} > 0 : Verschiebung nach oben,
- \textcolor{#ff6600}{e} < 0 : Verschiebung nach unten.
- Beachte, dass beim Verschieben längs der y‑Achse die Extremstellen (d.h. die x‑Werte der Extrema) unverändert bleiben. Die Nullstellen und die Extremwerte (y‑Werte) verändern sich aber.
Die gestreckte/gestauchte Funktion entsteht durch Multiplikation eines Streckfaktors \textcolor{#0000ff}{a} \ne 0 zum Funktionsterm von f(x) :
f_{neu}=\textcolor{#0000ff} {a\cdot }f(x)\\[5pt]
f_{neu}=\textcolor{#0000ff}{a\cdot }(x^3-2\cdot x^2+1)- |\textcolor{#0000ff}{a}| >1 streckt den Graph,
- 0<|\textcolor{#0000ff}{a}|<1 staucht den Graph,
- \textcolor{#0000ff}{a}<0 spiegelt den Graph zudem an der x‑Achse.
- Beachte, dass beim Strecken/Stauchen längs der y‑Achse die Extremstellen (d.h. die x‑Werte der Extrema) und die Nullstellen unverändert bleiben.
Die verschobene Funktion entsteht durch Subtraktion einer Zahl \red d von jedem vorkommenden x im Funktionsterm von f(x) :
f_{neu}=f(x\red{-d})\\[5pt]
f_{neu}=(x\red{-d})^3-2\cdot (x\red{-d})^2+1- \red d > 0 : Verschiebung nach rechts,
- \red d < 0 : Verschiebung nach links.
- Beachte, dass beim Verschieben in x‑Richtung die Zahl \red d subtrahiert werden muss.
- Ersetze im Funktionsterm jedes vorkommende x\rightarrow (x \red{-d}) . Achte auf die Vorzeichen und setze immer Klammern.
- Die Klammern müssen normalerweise nicht aufgelöst werden.
- Beachte, dass beim Verschieben längs der x‑Achse die Extremwerte (d.h. die y‑Werte der Extrema) unverändert bleiben. Die Nullstellen und die Extremstellen (x‑Werte) verändern sich aber.
Die gestreckte/gestauchte Funktion entsteht durch Division jedes vorkommenden x im Funktionsterm von f(x) durch einen Streckfaktor \textcolor{#00a000} {b}\ne 0 :
f_{neu}=f\left( \frac{x}{\textcolor{#00a000} {b}} \right)\\[5pt]
f_{neu}=\left( \frac{x}{\textcolor{#00a000} {b}} \right)^3-2\cdot \left( \frac{x}{\textcolor{#00a000} {b}} \right)^2+1- |\textcolor{#00a000} {b}| >1 streckt den Graph,
- 0<|\textcolor{#00a000} {b}|<1 staucht den Graph,
- \textcolor{#00a000} {b}<0 spiegelt den Graph zudem an der y‑Achse.
- Beachte, dass beim Strecken/Stauchen in x‑Richtung durch den Streckfaktor \textcolor{#00a000} {b} dividiert werden muss.
- Ersetze im Funktionsterm jedes vorkommende x\rightarrow \left( \frac{x}{\textcolor{#00a000} {b}} \right) . Achte auf die Vorzeichen und setze immer Klammern.
- Die Klammern müssen normalerweise nicht aufgelöst werden.
- Beachte, dass beim Verschieben längs der x‑Achse die Extremwerte (d.h. die y‑Werte der Extrema) unverändert bleiben. Die Nullstellen und die Extremstellen (x‑Werte) verändern sich aber.
Hinweis: In vielen Büchern wird die Streckung längs der x‑Achse durch Multiplikation mit einem „Stauch” – Faktor erklärt:
f_{neu}=f\left( \textcolor{#00a000} {b}\cdot x \right)\\[5pt]
f_{neu}=\left( \textcolor{#00a000} {b}\cdot x \right)^3-2\cdot \left( \textcolor{#00a000} {b}\cdot x \right)^2+1In diesem Fall gilt:
- |\textcolor{#00a000} {b}| >1 staucht den Graph,
- 0<| \textcolor{#00a000} {b}|<1 streckt den Graph.
Merke: Strecken um den Faktor 2 bedeutet: x \rightarrow \left(\frac{x}{2}\right ).
Stauchen um den Faktor 2 oder auf den Faktor \frac{1}{2} bedeutet: x \rightarrow ({x}\cdot {2}) .
Es erscheint merkwürdig, dass eine Verschiebung längs der y‑Achse positiv bewertet wird, längs der x‑Achse aber negativ. Auch das Strecken längs der Achsen ist verschieden. Wie kommt das?
Wir können die Transformation der Graphen auch anders erhalten, indem wir die Graphen festhalten und das hinterlegte Koordinatensystem transformieren. Aus dieser Perspektive wird die zugrundeliegende Systematik deutlicher.
Verschieben längs der y‑Achse
Strecken und Stauchen längs der y‑Achse
Verschieben längs der x‑Achse
Strecken und Stauchen längs der x‑Achse
Resultat
Die Transformation eines Funktionsgraphen kann man sich auch als Transformation des zugrundeliegenden Koordinatensystems vorstellen.
Verschiebung: x \rightarrow x - d;\ y \rightarrow y - e ‚
Streckung: x \rightarrow x/b;\ y \rightarrow y/a .
Der Unterscheid zwischen der x‑Achse und der y‑Achse besteht darin, dass in der Funktionsgleichung die y‑Koordinate allein steht, während die x‑Koordinate mehrfach in Termen vorkommen kann. Daher können wir die y‑Koordinate leicht isolieren, die x‑Koordinate aber nicht.
Erklärvideos
Bitte beachten
- Herr Roemer verwendet für alle Transformationen den Buchstaben a
- Beim Strecken/Stauchen längs der x‑Achse multipliziert Herr Roemer mit a.
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