Steck­brief­auf­ga­ben

Es gibt viele Sach­auf­ga­ben, die durch ganz­ra­tio­nale Funk­tio­nen model­liert wer­den kön­nen. Wie kommt man eigent­lich auf die Funk­ti­ons­terme, die zum gege­be­nen Sach­ver­halt passen? 

Die grund­le­gende Tech­nik soll in die­sem Bei­trag erar­bei­tet wer­den. Wir for­mu­lie­ren einen Steck­brief der gesuch­ten Funk­tion und lei­ten dar­aus not­wen­dige Bedin­gun­gen ab, die die Funk­tion erfül­len muss. Dies führt in der Regel auf ein linea­res Glei­chungs­sys­tem, wel­ches zu Fuß oder mit dem GTR gelöst wer­den kann.

Bei­spiel

Zu einer Tief­ga­rage soll eine Zufahrt gebaut wer­den, die jeweils knick­frei im Punkt A an die Kel­ler­ebene und im Punkt B an die Stra­ßen­ebene anschließt. Gesucht ist eine ganz­ra­tio­nale Funk­tion von einem mög­lichst nied­ri­gen Grad.

Wir machen einen Ansatz mit einer ganz­ra­tio­na­len Funktion:

f(x) = ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} + dx^{n-3} + … 

Die Koef­fi­zi­en­ten a, b, c, d, \dots und der Grad n der ganz­ra­tio­na­len Funk­tion sind die Unbe­kann­ten in die­ser Auf­gabe, die bestimmt wer­den müssen.

Auf­ga­ben

  1. Über­nimm die Auf­ga­ben­stel­lung mit Skizze ins Heft.
  2. Erstelle einen Steck­brief der Funk­tion f(x) , d. h. for­mu­liere Bedin­gun­gen, die die gesuchte Funk­tion erfül­len muss. Die Bedin­gun­gen kön­nen sich auf Funk­ti­ons­werte, Stei­gun­gen, Krüm­mun­gen bezie­hen, die die Funk­tion an bestimm­ten Stel­len erfül­len muss.
  3. Die Anzahl der Bedin­gun­gen hängt mit dem Grad der ganz­ra­tio­na­len Funk­tion zusam­men. Beschreibe und begründe die­sen Zusammenhang.
  4. Stelle ein Glei­chungs­sys­tem aus den Bedin­gun­gen auf und löse es. Schreibe den Funk­ti­ons­term auf. Mache die Probe, ob alle Bedin­gun­gen erfüllt sind.
  5. Die maxi­male Stei­gung der Zufahrt soll 50% nicht über­stei­gen. Prüfe rech­ne­risch, ob diese Bedin­gung erfüllt ist.

Steck­brief: Die Funk­tion muss fol­gende Bedin­gun­gen erfüllen:

\begin{array}{lccrl}
I&f(0)&=&0&|\ \text{Anschluss in A}\\
II&f'(0)&=&0&|\ \text{knickfrei in A}\\
III&f(6)&=&2&|\ \text{Anschluss in B}\\
IV&f'(6)&=&0&|\ \text{knickfrei in B}
\end{array}

Begrün­dun­gen:

I der Graph von f soll durch den Punkt A(0|0) ver­lau­fen,
II die Stei­gung des Gra­phen an der Stelle 0 soll gleich 0 sein,
III der Graph von f soll durch den Punkt B(6|2) ver­lau­fen,
IV die Stei­gung des Gra­phen an der Stelle 6 soll gleich 0 sein,

Wir haben vier Bedin­gun­gen im Steck­brief notiert. Damit kön­nen wir vier Unbe­kannte a, b, c, d bestim­men. Dar­aus folgt, dass unsere Funk­tion vom Grad 3 sein muss, denn es gibt immer einen Koef­fi­zi­en­ten mehr als der Grad vor­gibt. Da im Steck­brief auch die Ablei­tung f'(x) vor­kommt, berech­nen wir diese im Ansatz gleich mit.

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\\
f'(x)=3ax^2+2bx+c

Wir schrei­ben den Steck­brief nun kon­kret mit unse­rem Ansatz vom Grad 3 auf:

\begin{array}{rrrrrrrrrr}
If(0)=&a\cdot 0^3+&b\cdot 0^2+&c\cdot 0+&d&=&0\\
IIf'(0)=&3a\cdot 0^2+&2b\cdot 0+&c+&0\cdot d&=&0\\
IIIf(6)=&a\cdot 6^3+&b\cdot 6^2+&c\cdot 6+&d&=&2\\
IVf'(6)=&3a\cdot 6^2+&2b\cdot 6+&c+&0\cdot d&=&0
\end{array}

Das Glei­chungs­sys­tem wird wesent­lich über­sicht­li­cher, wenn wir die Poten­zen der Zah­len aus­rech­nen und das LGS der Matrix­schreib­weise notieren:

\begin{array}{r:rrrr|rr}
&a&b&c&d&R\\\hline
I&0&0&0&1&0\\
II&0&0&1&0&0\\
III& 216& 36&6&1&2\\
IV&108&12&1&0&0
\end{array}

Wir lösen das LGS mit dem GTR und erhalten:

\begin{array}{llrrrrrrrr}
I&a&=&-\frac{1}{54}\\[3pt]
II&b&=&\frac{1}{6}\\[3pt]
III&c&=&0\\[3pt]
IV&d&=&0\\



\end{array}

Wir set­zen die Koef­fi­zi­en­ten in unse­ren Ansatz ein und erhal­ten die gesuchte Funktion:

f(x)=-\frac{1}{54}x^3+\frac{1}{6}x^2

Schritt 5, d.h. eine hin­rei­chende Bedin­gung müs­sen wir hier nicht über­prü­fen, da keine Extrem- und/oder Wen­de­punkte gefragt sind.

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