Para­me­ter­form der Gerade

7:00 Uhr: MS Ber­tha befin­det sich nörd­lich von Bor­kum (Posi­tion B) mit Kurs 7 See­mei­len / sm pro Stunde Ost und 7 sm pro Stunde Nord. MS Hen­ri­ette hat zu die­sem Zeit­punkt Hel­go­land pas­siert (Posi­tion H) und fährt mit Kurs 7,5 sm pro Stunde West und 3 sm pro Stunde Süd.

Im dich­ten Nebel hal­ten beide ihren Kurs und ihre Geschwin­dig­keit stur ein. Kommt es zur Kollision?

Offen­sicht­lich beschrei­ben die Kurse der bei­den Schiffe Gera­den im Koor­di­na­ten­sys­tem, die sich in einem Punkt schnei­den. Diese Gera­den sol­len auf unter­schied­li­che Weise dar­ge­stellt und unter­sucht werden.

Auf­ga­ben

1. Stelle Gera­den­glei­chun­gen für die bei­den Schiffe auf und bestimme damit den Schnittpunkt.
2. Stelle für beide Schiffe para­me­tri­sche Glei­chun­gen in Abhän­gig­keit eines Para­me­ters t auf, d.h. für beide Schiffe getrennt die Funk­tio­nen x(t), y(t) . Nutze dazu die Koor­di­na­ten B(0|0) und H(40|27) der Start­punkte der bei­den Schiffe.
3. Unter­su­che mit der Koor­di­na­ten­form, ob die bei­den Schiffe zum sel­ben Zeit­punkt die glei­che Koor­di­nate x bzw. y erreichen.
4. In der para­me­tri­schen Dar­stel­lung lässt sich der Schnitt­punkt nor­ma­ler­weise nicht mit dem glei­chen Para­me­ter t für beide Schiffe ermit­teln, da die­ser Punkt nicht zur glei­chen Zeit erreicht wird. Stelle die Para­me­ter­glei­chun­gen mit getrenn­ten Para­me­tern s für Ber­tha und t für Hen­ri­ette auf. Setze getrennt für x und y gleich und löse das ent­ste­hende Gleichungssystem.

Defi­ni­tion: Para­me­ter­form der Gerade

Die Vek­tor­glei­chung:

\displaystyle \quad g: \overrightarrow {OX} = \overrightarrow {OA} + s\cdot \vec v ,\ s \in \mathbb{R} ‚

nennt man Para­me­ter­form der Gerade g.

\overrightarrow {OX} : Ein belie­bi­ger Punkt in der Gerade g,
\overrightarrow {OA} : Stütz­vek­tor, Punkt A liegt in g,
\vec v : Rich­tungs­vek­tor,
s, t \in \mathbb{R} : Para­me­ter.