Mecha­ni­sche und elek­tri­sche Schwin­gun­gen im Vergleich

Wir haben gelernt, wie Ener­gie in magne­ti­schen und elek­tri­schen Fel­dern gespei­chert wer­den kann. Bei der elek­tri­schen Schwin­gung wer­den diese bei­den Ener­gie­for­men per­ma­nent inein­an­der umgewandelt. 

Ähn­lich ‒ aber viel anschau­li­cher ‒ ver­hält es sich bei mecha­ni­schen Schwin­gun­gen. Der Zusam­men­hang zwi­schen den bei­den Schwin­gungs­for­men soll in einen (etwas alt­mo­di­schen) Video geklärt werden.

Quelle: Tele­kol­leg des bay­ri­schen Rundfunks
Bitte schaut euch das Video zu Hause an. Schreibt bitte alle For­meln in eure Unter­la­gen heraus.

Die har­mo­ni­sche Schwingung

Die mecha­ni­sche oder elek­tri­sche Schwin­gung lässt sich durch sehr ähn­li­che For­meln beschrei­ben. Auf­grund der gro­ßen Ähn­lich­keit bezeich­net man beide Schwin­gun­gen mit dem Fach­be­griff har­mo­ni­sche Schwin­gun­gen.

Die Bewe­gungs­glei­chung der har­mo­ni­schen Schwingung

Die Schwin­gun­gen wer­den häu­fig Kosi­nus­funk­tio­nen beschrei­ben. Beachte auch die Über­sicht in der fol­gen­den PDF (falls mög­lich, bitte ausdrucken):

Mecha­ni­sche Schwin­gun­gen:

s(t) = \hat s\cdot cos(\omega\cdot t),\\[3pt]
v(t) =\dot s(t) = -\hat s\cdot\omega \cdot  sin(\omega\cdot t),\\[3pt]
a(t) =\ddot s(t)=-\hat s\cdot\omega^2 \cdot  cos(\omega\cdot t),\\[3pt]
\omega=\sqrt {\frac{D}{m}}.

Dabei bedeu­tet:

  • s(t) die Aus­len­kung abhän­gig von der Zeit, 
  • \hat s die Ampli­tude, das ist die Aus­len­kung aus der Ruhelage,
  • v(t) = \dot s(t) die Geschwindigkeit,
  • a(t) = \ddot s(t) die Beschleunigung,
  • \omega = 2\pi f die Kreis­fre­quenz der Schwingung.

Elek­tri­sche Schwin­gun­gen:

U(t) = \hat U\cdot cos(\omega\cdot t),\\[3pt]
\omega=\sqrt {\frac{1}{L\cdot C}}.

Dabei bedeu­tet:

  • U(t) die Span­nung abhän­gig von der Zeit,
  • \hat U die Ampli­tude der Spannung,
  • \omega = 2\pi f die Kreis­fre­quenz der Schwingung.
  • Die zweite Glei­chung nennt man auch die Thompson’sche Schwin­gungs­glei­chung.

Auf­gabe

  1. Bestimme die Peri­oden­dauer T, die Fre­quenz f und die Kreis­fre­quenz ω der schwin­gen­den Brü­cke. Ent­nimm dazu alle benö­tig­ten Werte aus dem Text bzw. aus der Graphik.
  2. Stelle eine Bewe­gungs­glei­chung s(t) für die Aus­len­kung der Brü­cke in Abhän­gig­keit der Zeit auf. Berechne dar­aus die Geschwin­dig­keit v(t) und die Beschleu­ni­gung a(t). Wie groß sind jeweils die Maxi­mal­werte der Geschwin­dig­keit und der Beschleu­ni­gung? Zu wel­chen Zeit­punk­ten wer­den diese erst­ma­lig erreicht?
  3. Bestimme die „Feder­kon­stante“ D der Brü­cke und berechne dar­aus die Masse des schwin­gen­den Brü­cken­teils. Tipp: Die Masse der Brü­cke ist nicht 100t.
  4. Bestimme die Ener­gie, mit der die Brü­cke schwingt.

Für die Pra­xis ist die oben gezeigte For­mu­lie­rung der elek­tri­schen Schwin­gungs­glei­chun­gen ange­neh­mer, denn die elek­tri­sche Span­nung U(t) lässt sich sehr gut mes­sen. Eine strenge Ana­lo­gie zur mecha­ni­schen Schwin­gung wird aber nur durch die Betrach­tung der Ladung Q(t) ermöglicht. 

Wir benut­zen zur Her­lei­tung der Thompson’schen For­mel den Ener­gie­er­hal­tungs­satz:

 \!\,E_{ mag}(t)+E_{el}(t) = E_{ges} = \rm konst.

Wir set­zen die For­meln für die magne­ti­sche Ener­gie in der Spule und die elek­tri­sche Ener­gie im Kon­den­sa­tor ein:

\mathrm{ Spule: }\  E_{mag}=\frac{1}{2}\cdot L\cdot I^2(t), \\[3pt]
\mathrm{ Kondensator: }\ E_{el}= \frac{1}{2C}\cdot  Q^2(t) \Rightarrow\\[3pt]
\frac{1}{2}\cdot L\cdot I^2(t)+ \frac{1}{2C}\cdot  Q^2(t) =E_{ges}.

Wir lei­ten nach der Zeit ab. Dabei ist die Ände­rungs­rate der Gesamt­ener­gie gleich Null, denn letz­tere ist nach dem Ener­gie­er­hal­tungs­satz kon­stant. Bei der Ablei­tung der qua­dra­ti­schen Terme müs­sen wir die Ket­ten­re­gel ein­set­zen:

\frac{1}{2}\cdot L\cdot 2\cdot I(t)\cdot \dot I(t)\\[3pt]+ \frac{1}{2C}\cdot 2\cdot Q(t)\cdot \dot Q(t) =0\\[3pt]
L\cdot  I(t)\cdot \dot I(t)+ \frac{1}{C}\cdot  Q(t)\cdot \dot Q(t) =0

Nun kön­nen wir den Zusam­men­hang zwi­schen der Strom­stärke und der Ände­rungs­rate der Ladung ausnutzen:

I(t)=\dot Q(t) \Rightarrow\\[3pt]
\dot I(t)=\ddot Q(t).

Wir set­zen in die Glei­chung ein und Klam­mern I(t) aus:

L\cdot  I(t)\cdot \ddot Q(t)+ \frac{1}{C}\cdot  Q(t)\cdot I(t) =0\\[3pt]
I(t)\cdot \left( L\cdot \ddot Q(t)+ \frac{1}{C}\cdot  Q(t) \right) = 0.

Da die Strom­stärke I(t) im Schwing­kreis nicht dau­er­haft gleich Null sein kann, muss die große Klam­mer gleich Null sein. Wir divi­die­ren noch durch L und erhal­ten die Dif­fe­ren­ti­al­glei­chung des elek­tri­schen Schwing­krei­ses:

\boxed{  \ddot Q(t)+ \frac{1}{LC}\cdot  Q(t)=0}

Aus dem Expe­ri­ment wis­sen wir, dass die Ladung sich wie eine Kosi­nus­funk­tion ver­hält. Wir machen einen Ansatz und lei­ten zwei­mal nach der Zeit ab. Beachte die Kettenregel:

Q(t) = \hat Q\cdot \cos(\omega\cdot t), \\[3pt]
\dot Q(t) = -\omega\cdot \hat Q\cdot \sin(\omega\cdot t), \\[3pt]
\ddot Q(t) = - \omega^2\cdot \hat Q\cdot cos(\omega\cdot t).

Wir set­zen oben ein und Klam­men \hat Q\cdot \cos(\omega\cdot t) aus:

 - \omega^2\cdot \hat Q\cdot cos(\omega\cdot t)\\[3pt]+ \frac{1}{LC}\cdot \hat Q\cdot \cos(\omega\cdot t)=0\\[3pt]
  \hat Q\cdot cos(\omega\cdot t)\cdot \left( - \omega^2+ \frac{1}{LC}\right)=0.

Wie­der argu­men­tie­ren wir, dass die Kosi­nus­funk­tion nicht dau­er­haft gleich Null sein kann, also muss die Klam­mer gleich Null sein. Wir brin­gen \omega auf eine Seite und zie­hen die Wur­zel. Fer­tig ist die Thompson’sche Schwin­gungs­glei­chung:

\boxed{\omega=\sqrt {\frac{1}{L\cdot C}}}

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