Mechanische und elektrische Schwingungen im Vergleich

Wir haben gelernt, wie Energie in magnetischen und elektrischen Feldern gespeichert werden kann. Bei der elektrischen Schwingung werden diese beiden Energieformen permanent ineinander umgewandelt.
Ähnlich ‒ aber viel anschaulicher ‒ verhält es sich bei mechanischen Schwingungen. Der Zusammenhang zwischen den beiden Schwingungsformen soll in einen (etwas altmodischen) Video geklärt werden.
Quelle: Telekolleg des bayrischen Rundfunks

Bitte schaut euch das Video zu Hause an. Schreibt bitte alle Formeln in eure Unterlagen heraus.

Die harmonische Schwingung

Die mechanische oder elektrische Schwingung lässt sich durch sehr ähnliche Formeln beschreiben. Aufgrund der großen Ähnlichkeit bezeichnet man beide Schwingungen mit dem Fachbegriff harmonische Schwingungen.

Die Bewegungsgleichung der harmonischen Schwingung

Die Schwingungen werden häufig Kosinusfunktionen beschreiben. Beachte auch die Übersicht in der folgenden PDF (falls möglich, bitte ausdrucken):

Mechanische vs elektrische Schwingungen

Mechanische Schwingungen:

s(t) = \hat s\cdot cos(\omega\cdot t),\\[3pt] v(t) =\dot s(t) = -\hat s\cdot\omega \cdot sin(\omega\cdot t),\\[3pt] a(t) =\ddot s(t)=-\hat s\cdot\omega^2 \cdot cos(\omega\cdot t),\\[3pt] \omega=\sqrt {\frac{D}{m}}.

Dabei bedeutet:

$s(t)$ die Auslenkung abhängig von der Zeit,
$\hat s$ die Amplitude, das ist die Auslenkung aus der Ruhelage,
$v(t) = \dot s(t)$ die Geschwindigkeit,
$a(t) = \ddot s(t)$ die Beschleunigung,
$\omega = 2\pi f$ die Kreisfrequenz der Schwingung.

Elektrische Schwingungen:

U(t) = \hat U\cdot cos(\omega\cdot t),\\[3pt] \omega=\sqrt {\frac{1}{L\cdot C}}.

Dabei bedeutet:

$U(t)$ die Spannung abhängig von der Zeit,
$\hat U$ die Amplitude der Spannung,
$\omega = 2\pi f$ die Kreisfrequenz der Schwingung.
Die zweite Gleichung nennt man auch die Thompson’sche Schwingungsgleichung.

Aufgabe

Bestimme die Periodendauer T, die Frequenz f und die Kreisfrequenz ω der schwingenden Brücke. Entnimm dazu alle benötigten Werte aus dem Text bzw. aus der Graphik.
Stelle eine Bewegungsgleichung s(t) für die Auslenkung der Brücke in Abhängigkeit der Zeit auf. Berechne daraus die Geschwindigkeit v(t) und die Beschleunigung a(t). Wie groß sind jeweils die Maximalwerte der Geschwindigkeit und der Beschleunigung? Zu welchen Zeitpunkten werden diese erstmalig erreicht?
Bestimme die „Federkonstante“ D der Brücke und berechne daraus die Masse des schwingenden Brückenteils. Tipp: Die Masse der Brücke ist nicht 100t.
Bestimme die Energie, mit der die Brücke schwingt.

Für die Praxis ist die oben gezeigte Formulierung der elektrischen Schwingungsgleichungen angenehmer, denn die elektrische Spannung U(t) lässt sich sehr gut messen. Eine strenge Analogie zur mechanischen Schwingung wird aber nur durch die Betrachtung der Ladung Q(t) ermöglicht.

Wir benutzen zur Herleitung der Thompson’schen Formel den Energieerhaltungssatz:

\!\,E_{ mag}(t)+E_{el}(t) = E_{ges} = \rm konst.

Wir setzen die Formeln für die magnetische Energie in der Spule und die elektrische Energie im Kondensator ein:

\mathrm{ Spule: }\ E_{mag}=\frac{1}{2}\cdot L\cdot I^2(t), \\[3pt] \mathrm{ Kondensator: }\ E_{el}= \frac{1}{2C}\cdot Q^2(t) \Rightarrow\\[3pt] \frac{1}{2}\cdot L\cdot I^2(t)+ \frac{1}{2C}\cdot Q^2(t) =E_{ges}.

Wir leiten nach der Zeit ab. Dabei ist die Änderungsrate der Gesamtenergie gleich Null, denn letztere ist nach dem Energieerhaltungssatz konstant. Bei der Ableitung der quadratischen Terme müssen wir die Kettenregel einsetzen:

\frac{1}{2}\cdot L\cdot 2\cdot I(t)\cdot \dot I(t)\\[3pt]+ \frac{1}{2C}\cdot 2\cdot Q(t)\cdot \dot Q(t) =0\\[3pt] L\cdot I(t)\cdot \dot I(t)+ \frac{1}{C}\cdot Q(t)\cdot \dot Q(t) =0

Nun können wir den Zusammenhang zwischen der Stromstärke und der Änderungsrate der Ladung ausnutzen:

I(t)=\dot Q(t) \Rightarrow\\[3pt] \dot I(t)=\ddot Q(t).

Wir setzen in die Gleichung ein und Klammern I(t) aus:

L\cdot I(t)\cdot \ddot Q(t)+ \frac{1}{C}\cdot Q(t)\cdot I(t) =0\\[3pt] I(t)\cdot \left( L\cdot \ddot Q(t)+ \frac{1}{C}\cdot Q(t) \right) = 0.

Da die Stromstärke I(t) im Schwingkreis nicht dauerhaft gleich Null sein kann, muss die große Klammer gleich Null sein. Wir dividieren noch durch L und erhalten die Differentialgleichung des elektrischen Schwingkreises:

\boxed{ \ddot Q(t)+ \frac{1}{LC}\cdot Q(t)=0}

Aus dem Experiment wissen wir, dass die Ladung sich wie eine Kosinusfunktion verhält. Wir machen einen Ansatz und leiten zweimal nach der Zeit ab. Beachte die Kettenregel:

Q(t) = \hat Q\cdot \cos(\omega\cdot t), \\[3pt] \dot Q(t) = -\omega\cdot \hat Q\cdot \sin(\omega\cdot t), \\[3pt] \ddot Q(t) = - \omega^2\cdot \hat Q\cdot cos(\omega\cdot t).

Wir setzen oben ein und Klammen $\hat Q\cdot \cos(\omega\cdot t)$ aus:

- \omega^2\cdot \hat Q\cdot cos(\omega\cdot t)\\[3pt]+ \frac{1}{LC}\cdot \hat Q\cdot \cos(\omega\cdot t)=0\\[3pt] \hat Q\cdot cos(\omega\cdot t)\cdot \left( - \omega^2+ \frac{1}{LC}\right)=0.

Wieder argumentieren wir, dass die Kosinusfunktion nicht dauerhaft gleich Null sein kann, also muss die Klammer gleich Null sein. Wir bringen $\omega$ auf eine Seite und ziehen die Wurzel. Fertig ist die Thompson’sche Schwingungsgleichung: