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Lokale Extrem­punkte: Not­wen­dige und hin­rei­chende Bedingung

Wenn ein Graph einer Funk­tion einen loka­len Extrem­punkt auf­weist, muss dort die Ablei­tung eine Null­stelle haben. Umge­kehrt gilt das lei­der nicht, denn an den Null­stel­len der Ablei­tung kön­nen auch Sat­tel­punkte existieren.

Daher ist eine genaue Unter­su­chung mit einer not­wen­di­gen und einer hin­rei­chen­den Bedin­gung erfor­der­lich.

Auf dem Gra­phen liegt ein loka­ler Tief­punkt, ein Sat­tel­punkt und ein loka­ler Hoch­punkt.
An allen drei Punk­ten gibt es jeweils eine waa­ge­rechte Tan­gente.
Not­wen­dige Bedin­gung für lokale Extrem­punkte: Die Ablei­tung f’ muss eine Null­stelle haben.
Hin­rei­chende Bedin­gung: f’ muss einen Vor­zei­chen­wech­sel (VZW) auf­wei­sen.
Der Sat­tel­punkt ist kein Extrem­punkt, hier hat f’ eine dop­pelte Null­stelle ohne VZW.

Satz: Not­wen­dige Bedin­gung für lokale Extrempunkte

Hat der Graph einer Funk­tion f(x) an der Stelle x einen loka­len Extrem­punkt, dann ist dort f'(x)=0 .

Wir betrach­ten die Funk­tion f(x) = \frac{1}{16} x^4 - \frac{1}{3} x^3 + 1 aus der Ein­stiegs­auf­gabe im Buch Seite 160.

Not­wen­dige Bedin­gung: f'(x) = 0

f'(x) = \frac{1}{4} x^3 - x^2 = 0.

Wir lösen diese Glei­chung, indem wir x^2 ausklammern:

x^2\cdot \left( \frac{1}{4} x - 1\right) = 0 \Rightarrow

x^2 = 0 \quad \vee \quad \left( \frac{1}{4} x - 1\right) = 0 \Leftrightarrow

x = 0 \quad \vee \quad x = 4 .

Ana­lyse: Wenn es über­haupt lokale Extrem­punkte gibt, dann an den Stel­len \quad x_1 = 0 \quad \vee \quad x_2 = 4 .

Satz: Hin­rei­chende Bedin­gung für lokale Extrem­punkte

Wech­selt die Ablei­tung f'(x) an der Stelle x ihr Vor­zei­chen, so hat der Graph von f(x) dort einen loka­len Extrem­punkt, und zwar einen:

Hoch­punkt: das Vor­zei­chen von f'(x) wech­selt von
\boldsymbol{+ \ \rightarrow \ -} ‚

Tief­punkt: das Vor­zei­chen von f'(x) wech­selt von
\boldsymbol{- \ \rightarrow \ +} .

Kern­ge­danke: Das Vor­zei­chen der Ablei­tung ent­schei­det dar­über, ob der Graph streng mono­ton steigt oder fällt.

Wir wir arbei­ten wei­ter mit der Funk­tion f(x) = \frac{1}{16} x^4 - \frac{1}{3} x^3 + 1 aus der Ein­stiegs­auf­gabe im Buch Seite 160.

Hin­rei­chende Bedin­gung: Vor­zei­chen­wech­sel (VZW) von f'

Wir haben bereits die Null­stel­len von f'(x) berech­net und sor­tie­ren diese (wich­tig!!) in auf­stei­gen­der Rei­hen­folge:
x_1 = 0 \quad \vee \quad x_2 = 4 .

Wir betrach­ten als ers­tes die Stelle \underline{x_1 = 0} und unter­su­chen das Vor­zei­chen von f'(x) jeweils links und rechts von x_1 . Z.b könn­ten wir links die Stelle x = -1 betrach­ten und rechts die Stelle x = 1 betrachten:

\underline{x_1 = 0}

f'(\red {-1}) = \frac{1}{4} (\red {-1})^3 - (\red {-1})^2 = -1{,}25 \ < 0

f'(\red 1) = \frac{1}{4} \red 1^3 - \red 1^2 = -0{,}75 \ < 0 \Rightarrow

kein VZW \Rightarrow Sat­tel­punkt bei x_1=0 .

Nun betrach­ten wir die Stelle \underline{x_2 = 4} und unter­su­chen wie­der das Vor­zei­chen von f'(x) jeweils links und rechts von x_2 . Z.b könn­ten wir links die Stelle x = 1 wie­der­ver­wen­den und rechts die Stelle x = 5 betrachten:

\underline{x_2 = 4}

f'(\red 1) = \frac{1}{4} \red 1^3 - \red 1^2 = -0{,}75 \ < 0

f'(\red 5) = \frac{1}{4} \red 5^3 - \red 5^2 = 6{,}25 \ > 0 \Rightarrow

VZW - \ \rightarrow \ + \ \Rightarrow Tief­punkt bei x_2=4 .

Feh­ler­quel­len: Achte dar­auf, dass die Null­stel­len auf­stei­gend sor­tiert wer­den. Die Stel­len, die du unter­suchst, müs­sen immer links und rechts der betrach­te­ten Null­stelle lie­gen, aber nie­mals jen­seits der nächs­ten Null­stelle. Achte dar­auf, dass du immer Stel­len zwi­schen den Null­stel­len untersuchst.

Wenn die Auf­gabe nach Extremstel­len fragt, ist es hin­rei­chend, die x‑Werte zu ermit­teln. Wird jedoch nach Extrempunk­ten gefragt, musst du zusätz­lich die y‑Werte bestimmen:

\underline{x_1 = 0}

f(\red 0) = \frac{1}{16} \red 0^4 - \frac{1}{3}\red 0^3 + 1= 1 \Rightarrow

SP(\red 0|1) .

\underline{x_2 = 4}

f(\red 4) = \frac{1}{16} \red 4^4 - \frac{1}{3}\red 4^3 + 1= -5\frac{1}{3} \Rightarrow

TP(\red 4|-5{,}33) .

Feh­ler­quelle: Setzt die x‑Werte in die Aus­gangs­funk­tion f(x) ein, nicht in die Ablei­tung f'(x) . Dort kommt immer 0 heraus.

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