Lineare Glei­chungs­sys­teme mit dem Gauss-Ver­fah­ren lösen

In der Sekun­dar­stufe I haben wir drei Ver­fah­ren zur Lösung von Linea­ren Glei­chungs­sys­te­men (LGS) gelernt: Das Ein­setz­ver­fah­ren, das Geich­setz­ver­fah­ren und das Addi­ti­ons­ver­fah­ren. Für LGS mit drei oder mehr Varia­blen nut­zen wir in der Sekun­dar­stufe II vor­wie­gend das Gauss-Ver­fah­ren, wel­ches auf dem Addi­ti­ons­ver­fah­ren aufbaut.

Schritt 1: Wir notie­ren das LGS in einer Matrix-Schreibweise

Die Schreib­weise als Matrix spart Schreib­ar­beit, erhöht die Über­sicht­lich­keit und erlaubt einen ein­fa­chen Ein­satz des GTR.

Aus­gangs­punkt ist ein LGS mit drei Glei­chun­gen und drei Varia­blen x, y, z .

\begin{array}{rcrcrcr}
x&+&3y &+&z&=&2\\
-2x&-&4y&+&2z&=&6\\
3x&+&y &+&z&=&8
\end{array}

Wir schrei­ben in einer Zeile ein­mal die Varia­blen und dar­un­ter in einer Matrix die so genann­ten Koef­fi­zi­en­ten (das sind die Fak­to­ren der Varia­blen) auf. Die Zei­len der Matrix num­me­rie­ren wir mit römi­schen Zah­len. Die kon­stan­ten Zah­len rechts vom Gleich­heits­zei­chen nen­nen wir R wie Resultat. 

\begin{array}{r:rrrr|r}
&x&y&z&&R\\ \hline
I&1&3 &1&&2\\
II&-2&-4&2&&6\\
III&3&1&1&&8
\end{array}

Tipps: Fehlt ein Koef­fi­zi­ent, ergän­zen wir die 1. Fehlt eine Varia­ble in einer Zeile, ergän­zen wir die 0.

Schritt 2: Umfor­men zu der obe­ren Dreiecksgestalt

Unser Ziel ist es, die Matrix der Koef­fi­zi­en­ten so umzu­for­men, dass in der Dia­go­na­len keine Nul­len und in dem Drei­eck dar­un­ter nur Nul­len stehen:

\begin{array}{r:rrrr|r}
&x&y&z&&R\\\hline
I&\red 1&3 &1&&2\\
II&\color{orange} 0&\red{2}&4&&10\\
III&\color{orange} 0&\color{orange} 0&\red{14}&&42
\end{array}

Wir dür­fen dabei …

  • Zei­len mit­ein­an­der vertauschen
  • Zei­len mit Zah­len \ne 0 multiplizieren
  • Zei­len mit­ein­an­der addie­ren oder von­ein­an­der subtrahieren
  • Die drei Schritte oben kombinieren

Wir müs­sen …

  • Jede Zeile min­des­tens ein­mal nutzen
  • Vor­zei­chen beachten

Wir soll­ten …

  • Unser Vor­ge­hen dokumentieren
  • Brü­che vermeiden
  • Durch­aus den Taschen­rech­ner beim Umfor­men einsetzen

So geht’s

Schritt 3: Berech­nen der Lösungsmenge

In der obe­ren Drei­ecks­ge­stalt lässt sich die Zeile III gut nach \blue z auf­lö­sen. Das Ergeb­nis set­zen wir in Zeile II ein und berech­nen y . Danach in Zeile I bestim­men wir x

\begin{array}{rrrrcrl}
III &&&14\cdot \blue z &=&42 &\Rightarrow \blue {z=3}\\
II  &&2\cdot \red y&+4\cdot \blue 3&=&10 & \Rightarrow \red{y=-1}\\
I &1\cdot \green x&+3\cdot \red{(-1)}&+1\cdot \blue3&=&2 &\Rightarrow \green{x=2}\\
\end{array}\\[5pt]
\Rightarrow L=\{\green2|\red{-1}|\blue 3 \}

Bei­spiele

Seite 46 Nr. 1 a) b) d)

Lern­vi­deo von Daniel Jung

Daniel Jung nutzt eben­falls römi­sche Zif­fern zur Doku­men­ta­tion der Lösungen.

Klapp­test zum Üben

So geht’s mit dem GTR

Wir begin­nen wie­der mit der Matrix-Schreib­weise unse­res LGS:

\begin{array}{r:rrrr|r}
&x&y&z&&R\\\hline
I&1&3 &1&&2\\
II&-2&-4&2&&6\\
III&3&1&1&&8
\end{array}

Wähle im GTR das Menu A Gleichungen:

Drü­cke auf F1 für Lineare Glei­chungs­sys­teme und wähle im fol­gen­den Bild­schirm die Anzahl der Varia­blen. Der GTR kann LGS mit zwei bis sechs Varia­blen lösen. Wäh­len im Bei­spiel F2 für drei Variablen.

Gib die Koef­fi­zi­en­ten­ma­trix in den Spal­ten a, b, c ein und die Resul­tats­spalte in der Spalte d. Drü­cke F1 oder EXE, um das LGS zu lösen. Mit EXIT kommst du von der Lösung zurück zum Eingabebildschirm.

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