Zwei Geraden können im Raum ganz unterschiedlich zueinander orientiert sein:
In der Ebene können zwei Geraden drei unterschiedliche Lagen zueinander annehmen: Sie können parallel und identisch, parallel und verschieden sein oder sie haben genau einen Schnittpunkt.
Im Raum gibt es noch eine vierte Möglichkeit: Geraden, die nicht parallel sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt aufweisen, nennt man windschief.
In diesem Beitrag untersuchen wir, wie die Lage zweier Geraden mithilfe ihrer Parameterform bestimmt werden kann. Beispiele werden ohne Hilfsmittel gelöst. Für die Fälle 3 und 4 wird zudem gezeigt, wie sich der GTR einsetzen lässt.
Gegeben sind zwei Geradengleichungen:
g\colon\ \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{u}\\
h\colon\ \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OB}+s\cdot \overrightarrow{v}
Fall 1: \bold{g=h}
Fall 2: \bold{g \parallel h \ \wedge \ g \ne h}
Fall 3: Es gibt einen gemeinsamen Schnittpunkt
Gegeben sind die beiden Geraden:
g\colon\ \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\ ,\\[5pt]
h\colon\ \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}Schritt 1: Sind die Richtungsvektoren parallel?
\vec{u} \overset{?}{=} k \cdot \vec{v}\\
\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \overset{?}{=} k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\[5pt]
\begin{align*} -1 &= k \cdot (0) & & \Rightarrow & & k = \{\} \\ 0 &= k \cdot (2) & & \Rightarrow & &k = 0 \\ 2 &= k \cdot (1) & & \Rightarrow & & k = 2 \end{align*}Analyse 1: Nein, die Richtungsvektoren sind nicht parallel, da das LGS nicht in allen drei Gleichungen aufgeht.
Schritt 2: Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt \bold S ?
Wir setzen die Geraden g = h gleich,
\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{u} \ \overset{?}{=} \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{v}\\[5pt]
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\overset{?}{=} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}und stellen ein LGS mit drei Gleichungen und den zwei Variablen r, s auf:
\left |\begin{align*} 2 -1\cdot r &= 1 - 0\cdot s \\ 1 + 0\cdot r &= -1+2\cdot s\\3 + 2\cdot r&= 4 + 1\cdot s \end{align*}\right |wir bringen die Terme mit r, s auf die linke Seite und die Konstanten auf die rechte Seite
\left |\begin{align*} 2 -1\cdot r &= 1 - 0\cdot s \\ 1 + 0\cdot r &= -1+2\cdot s\\3 + 2\cdot r&= 4 + 1\cdot s \end{align*}\right |\begin{align*} & -2 \\ &-1-2\cdot s\\&-3 -1\cdot s \end{align*}\\[5pt]
\left |\begin{align*} -1\cdot r+0\cdot s &= -1 \\ 0\cdot r -2\cdot s&= -2\\ 2\cdot r-1\cdot s&= 1\end{align*}\right |und bringen das LGS in eine Matrixform. Hinweis: Es ist erforderlich, das LGS in den Unterlagen zu dokumentieren.
\begin{array}{r:rr|r}
&r&s&R\\ \hline
I&-1&0 &-1\\
II&0&-2&-2\\
III&2&-1&1
\end{array}Wir lösen die ersten beiden Gleichungen des LGS mit dem Gauss-Verfahren:
\begin{array}{r:rr|rl}
&r&s&R\\ \hline
I&-1&0 &-1\\
II&0&-2&-2
\end{array}\begin{array}{}\\\Rightarrow \blue{r=1}\\\Rightarrow \red{s=1}\end{array}In diesem Beispiel ist die Matrix schon in der Dreiecksgestalt und wir können die Lösungen direkt ablesen. In vielen Fällen müssen wir zunächst mit dem Gauss-Verfahren die Dreiecksgestalt erzeugen.
Schritt 2.1: Probe in der dritten Gleichung
Fehlerquelle: Die Lösung \blue{r=1}; \red{s=1} ergibt sich nur aus zwei Gleichungen des LGS. Es ist erforderlich, dass wir die Probe in der dritten Gleichung durchführen (Punktabzug, wenn es vergessen wird).
Wir setzen dazu die Lösung in die dritte Gleichung ein:
III: 2\cdot \blue{1}-1\cdot \red{1}\overset{?}{=}1\\
III: 1\overset{!}{=}1Analyse 2: Die Probe ist aufgegangen. Somit haben die Geraden g und h einen gemeinsamen Schnittpunkt \bold S .
Schritt 3: Berechnung des Schnittpunktes \bold S
Wir setzen die Lösung des LGS \blue{r=1}; \red{s=1} in die Gerade g oder die Gerade h ein:
g\colon\ \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \blue{1} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\ =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} ,\\[5pt]
h\colon\ \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \red{1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}Analyse 3: In beiden Geraden ergibt sich der gleiche Schnittpunkt S(1|1|5) .
Wir bringen das LGS in eine Matrixform und dokumentieren sie genau wie bei dem hilfsmittelfreien Beispiel.
\begin{array}{r:rr|r}
&r&s&R\\ \hline
I&-1&0 &-1\\
II&0&-2&-2\\
III&2&-1&1
\end{array}Der GTR kann lineare Gleichungssysteme nur dann lösen, wenn die Zahl der Gleichungen mit der Zahl der Variablen übereinstimmt. In unserem Beispiel haben wir drei Gleichungen aber nur zwei Variablen r und s . Daher fügen wir eine Dummy-Variable \orange z ein. Die Koeffizienten dieser Variablen sind alle Null. Dadurch verändern wir die Lösungsmenge unseres LGS nicht.
\begin{array}{r:rrr|r}
&r&s&\orange z&R\\ \hline
I&-1&0 &\orange 0&-1\\
II&0&-2&\orange 0&-2\\
III&2&-1&\orange 0&1
\end{array}Nun können wir die Matrix des LGS im GTR eingeben:
Analyse: Die Probe ist nicht notwendig, denn der GTR nutzt alle drei Gleichungen des LGS zur Lösung aus. Somit haben die Geraden g und h einen gemeinsamen Schnittpunkt \bold S . Wenn der Schnittpunkt gesucht ist, müssen wir ihn wie oben gezeigt berechnen.
Fehlerquelle: Vergiss nicht die Dokumentation des LGS.
Fall 4: Die Geraden sind windschief
Gegeben sind die beiden Geraden:
g\colon\ \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\ ,\\[5pt]
h\colon\ \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}Schritt 1: Sind die Richtungsvektoren parallel?
\vec{u} \overset{?}{=} k \cdot \vec{v}\\
\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \overset{?}{=} k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[5pt]
\begin{align*} -1 &= k \cdot (1) & & \Rightarrow & & k = -1 \\ 0 &= k \cdot (1) & & \Rightarrow & &k = 0 \\ 2 &= k \cdot (2) & & \Rightarrow & & k = 2 \end{align*}Analyse 1: Nein, die Richtungsvektoren sind nicht parallel, da das LGS nicht in allen drei Gleichungen aufgeht.
Schritt 2: Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt \bold S ?
Wir setzen die Geraden g = h gleich,
\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{u} \ \overset{?}{=} \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{v}\\[5pt]
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\overset{?}{=} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}und stellen ein LGS mit drei Gleichungen und den zwei Variablen r, s auf:
\left |\begin{align*} 2 -1\cdot r &= 2 + 1\cdot s \\ 1 + 0\cdot r &= 2+1\cdot s\\3 + 2\cdot r&= 1 + 2\cdot s \end{align*}\right |wir bringen die Terme mit r, s auf die linke Seite und die Konstanten auf die rechte Seite
\left |\begin{align*} 2 -1\cdot r &= 2 + 1\cdot s \\ 1 + 0\cdot r &= 2+1\cdot s\\3 + 2\cdot r&= 1 + 2\cdot s \end{align*}\right |
\begin{align*} & -2 -1\cdot s \\ &-1-1\cdot s\\&-3 -2\cdot s \end{align*}\\[5pt]
\left |\begin{align*} -1\cdot r-1\cdot s &= 0 \\ 0\cdot r -1\cdot s&= 1\\ 2\cdot r-2\cdot s&= -2\end{align*}\right |und bringen das LGS in eine Matrixform. Hinweis: Es ist erforderlich, das LGS in den Unterlagen zu dokumentieren.
\begin{array}{r:rr|r}
&r&s&R\\ \hline
I&-1&-1 &0\\
II&0&-1&1\\
III&2&-2&-2
\end{array}Wir lösen die ersten beiden Gleichungen des LGS mit dem Gauss-Verfahren:
\begin{array}{r:rr|rl}
&r&s&R\\ \hline
I&-1&-1 &0\\
II&0&-1&1
\end{array}\begin{array}{}\\\Rightarrow \blue{r=1}\\\Rightarrow \red{s=-1}\end{array}In diesem Beispiel ist die Matrix schon in der Dreiecksgestalt und wir können die Lösungen direkt ablesen. In vielen Fällen müssen wir zunächst mit dem Gauss-Verfahren die Dreiecksgestalt erzeugen.
Schritt 2.1: Probe in der dritten Gleichung
Fehlerquelle: Die Lösung \blue{r=1}; \red{s=-1} ergibt sich nur aus zwei Gleichungen des LGS. Es ist erforderlich, dass wir die Probe in der dritten Gleichung durchführen. Ohne die Probe können wir die Lage der beiden Geraden in diesem Beispiel nicht richtig einschätzen.
Wir setzen dazu die Lösung in die dritte Gleichung ein:
III: 2\cdot \blue{1}-2\cdot (\red{-1})\overset{?}{=}-2\\
III: 4\ne1Analyse 2: Die Probe ergibt eine falsche Aussage. Somit haben die Geraden g und h keinen gemeinsamen Schnittpunkt, sie sind windschief.
Schritt 3: Berechnung des Schnittpunktes entfällt.
Wir bringen das LGS in eine Matrixform und dokumentieren sie in den Unterlagen:
\begin{array}{r:rr|r}
&r&s&R\\ \hline
I&-1&-1 &0\\
II&0&-1&1\\
III&2&-2&-2
\end{array}Der GTR kann lineare Gleichungssysteme nur dann lösen, wenn die Zahl der Gleichungen mit der Zahl der Variablen übereinstimmt. In unserem Beispiel haben wir drei Gleihungen aber nur zwei Variablen r und s . Daher fügen wir eine Dummy-Variable \orange z ein. Die Koeffizienten dieser Variablen sind alle Null. Dadurch verändern wir die Lösungsmenge unseres LGS nicht.
\begin{array}{r:rrr|r}
&r&s&\orange z&R\\ \hline
I&-1&-1 &\orange 0&0\\
II&0&-1&\orange 0&1\\
III&2&-2&\orange 0&-2
\end{array}Nun können wir die Matrix des LGS im GTR eingeben (siehe auch Beispiel Fall 3 GTR):
Analyse: Die Probe ist nicht notwendig, denn der GTR nutzt alle drei Gleichungen des LGS zur Lösung aus. Somit haben die Geraden g und h keinen Schnittpunkt, sie sind windschief.
Fehlerquelle: Vergiss nicht die Dokumentation des LGS.
Aufgaben
- Untersuche ohne Hilfsmittel die Lage der Geraden AB in Bezug auf die Gerade CD. Bestimme ggf. die Koordinaten des gemeinsamen Punktes:
- A(-5|1|8), B(-1|1|6), C(-5|7|2), D(7|-2|5)
- A(1|4|-1), B(3|0|3), C(5|1|0), D(4|3|-2)
Mit den Leitungen DC, FE und HG war noch alles in Ordnung. Dann wurde die Leitung von A nach B gezogen und mit einem lauten Knall fiel der Strom aus. Untersuche rechnerisch (GTR zulässig), an welcher Stelle und mit welcher Leitung die neue Leitung AB in Kontakt gekommen ist.
Die Geraden
g_{AB}\colon\ \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\ ,\\[5pt]
g_{CD}\colon\ \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ -9 \\ 3 \end{pmatrix}schneiden sich im Punkt S(3|1|4).
Die Geraden
g_{AB}\colon\ \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\ ,\\[5pt]
g_{CD}\colon\ \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}sind parallel und verschieden.
8 Kommentare
Kommentieren →Meine Lösung zum Kabelsalat
Vektorrechnung
Nr. 2
Aufgabe 2
Meine Lösungen zu 1a)+b)
Meine Lösungen zu Nr. 1a und b.
Hier ist meine Lösung für die Aufgabe 1.
Liebe Leora,
vielen Dank für deine Lösungen. Du müsstest allerdings noch zwei kleine Rechenschritte ausführen:
Bei 1 a) die Koordinaten des Schnittpunktes berechnen und bei 1 b) die Punktprobe, um zu schauen, ob die Geraden parallel oder identisch sind. Orientiere dich doch einfach an den Beispielen.
Mein Rechnungsweg zur Aufgabe 1 a) und b)