Inte­gral­rech­nung Einstiegsaufgaben

Bade­tag

Herr Schmitz berei­tet sich auf sein gelieb­tes Wan­nen­bad vor und lässt Was­ser ein.
Das fol­gende Dia­gramm stellt die zeit­li­che Ent­wick­lung von Zufluss und Abfluss gemes­sen in Liter pro Minute dar:

Auf­ga­ben

  1. Zeichne die Abbil­dung ins Heft. Ver­giss nicht, die Ach­sen zu beschriften.
  2. Beschreibe in Wor­ten, wie Herr Schmitz das Was­ser in die Wanne ein­lässt. Berück­sich­tige dabei fol­gende Fragen:
    • Wel­che Fluss­ge­schwin­dig­kei­ten kom­men bei­spiels­weise vor?
    • Wel­che Bedeu­tung haben Berei­che, in denen der Graph unter­halb der t‑Achse verläuft?
    • Ist es auch mög­lich, dass Herr Schmitz zu einem Zeit­punkt sowohl den Was­ser­hahn auf­ge­dreht hat, als auch den Abfluss öffnet?
  3. Für t > 12 min soll v(t) kon­stant blei­ben. Ab wel­chem Zeit­punkt ist die Wanne leer? 
  4. Phy­si­ke­rin­nen und Phy­si­ker ken­nen sol­che Auf­ga­ben aus dem Unter­richt der Stufe EF. Stelle das Kon­zept der Flä­chen­in­halte für die Unwis­sen­den dar. 
  1. Siehe oben.
  2. Zwi­schen 0 und 4 Minu­ten fließt 10 l/min ein. Zwi­schen 4 und 6 Minu­ten sind es 8 l/min und zwi­schen 6 und 9 Minu­ten wie­der 10 l/min. Zwi­schen 9 und 12 Minu­ten fließt kein Was­ser zu. Ab 12 Minu­ten fließt Was­ser mit 10 l/min ab. Zwi­schen 9 und 12 Minu­ten könnte es aber auch sein, dass genauso viel zu- wie abfließt.
  3. Zwi­schen 0 und 4 Minu­ten flie­ßen 40 l ein, zwi­schen 4 und 6 Minu­ten sind es 16 l und zwi­schen 6 und 9 Minu­ten 30 l. Ins­ge­samt also maxi­mal 86 l.
    Nach 16 Minu­ten sind bereits 40 l wie­der abge­flos­sen. Also sind noch 46 l in der Wanne.
  4. Das Abflie­ßen der gesam­ten Was­ser­menge dau­ert 8,6 Minu­ten. Somit ist die Wanne nach ins­ge­samt 20,6 Minu­ten leer. 
  5. Im Phy­sik­un­ter­richt haben wir einen Zusam­men­hang zwi­schen der Geschwin­dig­keit und der zurück­ge­leg­ten Stre­cke entdeckt:
    • Die zurück­ge­legte Stre­cke ent­spricht dem Flä­chen­in­halt unter dem Gra­phen der Geschwin­dig­keit. Die­ses Kon­zept lässt sich hier eben­falls anwenden:
    • Die ein- bzw. abge­lau­fene Was­ser­menge ent­spricht dem Flä­chen­in­halt unter dem Gra­phen der Zufluss- bzw. Abfluss­ge­schwin­dig­keit.

Hop­fen­pflanze

Der Hop­fen (bota­nisch Humu­lus lupu­lus L. ) ist eine der am schnells­ten wach­sen­den Pflan­zen der hei­mi­schen Botanik. 

Für das Wachs­tum einer Hop­fen­pflanze wird fol­gende Modell­an­nahme getrof­fen: Die Wachs­tums­ge­schwin­dig­keit w(t) (gemes­sen in cm pro Tag) steigt inner­halb von 40 Tagen linear von 0 auf 25. Anschlie­ßend nimmt die Wachs­tums­ge­schwin­dig­keit linear inner­halb von 30 Tagen wie­der auf 0 ab:

Auf­ga­ben

  1. Über­trage das Dia­gramm in dein Heft.
  2. Bestimme die Funk­ti­ons­terme der abschnitts­weise defi­nier­ten Funk­tion
    w(t)=\Biggl\{ \begin{matrix}w_1(t)&=& \dots & \text{ für } & 0\le t \le 40 \\[5px] w_2(t)&=&\dots & \text{ für } & 40\le t \le 70 \end{matrix}
  3. Bestimme die erwar­tete Höhe der Pflanze durch eine begrün­dete Rechnung.
  4. Bestimme eine abschnitts­weise defi­nierte Funk­tion W(t) , die die Höhe der Pflanze zu einer belie­bi­gen Zeit t angibt. Tipp: Ermit­tele Terme für den Flä­chen­in­halt, der zur Zeit t zwi­schen der t‑Achse und dem Gra­phen ein­ge­schlos­sen wird.
  1. Siehe oben.
  2. Die Stei­gung der ers­ten Gerade ist m_1=\frac{25}{40}=\frac{5}{8} . Somit lau­tet der Funk­ti­ons­term w_1(t)= \frac{5}{8}t .

    Die Stei­gung der zwei­ten Gerade ist m_2=\frac{25-0}{70-40}=-\frac{5}{6} . Somit lau­tet der Funk­ti­ons­term w_2(t)= -\frac{5}{6}t + b . Zusätz­lich muss die Gerade noch durch den Punkt (40|25) ver­lau­fen. Wir set­zen ein und erhal­ten 25=-\frac{5}{6}\cdot 40 + b \Rightarrow b=\frac{175}{3}. Also lau­tet der Funk­ti­ons­term w_2(t)= -\frac{5}{6}t + \frac{175}{3} .

    w(t)=\Biggl\{ \begin{matrix}w_1(t)&=& \frac{5}{8}t & \text{ für } & 0\le t \le 40 \\[5px] w_2(t)&=&-\frac{5}{6}t+\frac{175}{3} & \text{ für } & 40\le t \le 70 \end{matrix}
  3. Wir betrach­ten die Drei­ecks­flä­chen W_1 im Zeit­raum 0 bis 40 Tagen bzw. W_2 im Zeit­raum 40 bis 70 Tagen und berech­nen:
    W_1=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 25 = 500 bzw.
    W_2=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 25 = 375 . Ins­ge­samt ergibt sich eine Höhe von 8,75 Metern.
  4. Wir müs­sen die Höhe der Pflanze mit Hilfe von Ter­men für die Flä­chen­in­halte bestim­men, die abhän­gig von der Varia­blen der Zeit t sind:
    • Im Zeit­raum 0 bis 40 Tagen kön­nen wir die Höhe der Pflanze aus dem blauen Drei­eck gewin­nen:

      Die Flä­che ist W_1=\frac{1}{2}\cdot t\cdot w_1(t)= \frac{1}{2}\cdot t\cdot \frac{5}{8}t =\frac{5}{16}t^2.
    • Kom­pli­zier­ter ist die Situa­tion im Zeit­raum zwi­schen 40 und 70 Tagen:
      Ent­we­der berech­nen wir die Flä­chen des blauen Drei­ecks und des grü­nen Tra­pe­zes. Ein­fa­cher ist es, die gesamte Flä­che zu neh­men, die der maxi­ma­len Höhe der Pflanze von 875 cm ent­spricht, und davon das helle Drei­eck zu sub­tra­hie­ren. Des­sen Flä­che ist \frac{1}{2}\cdot (70-t)\cdot w_2(t) = \frac{1}{2}\cdot (70-t)\cdot (-\frac{5}{6}t+\frac{175}{3}) .
      Somit ist Höhe im zwei­ten Zeit­raum gege­ben durch W_2=875- \left( \frac{5}{12}t^2 -\frac{175}{3}t+ \frac{6125}{3} \right)= -\frac{5}{12}t^2 +\frac{175}{3}t-\frac{3500}{3} .
    • Zusam­men­ge­fasst gilt für die Funk­tion W(t) :
W(t)=\Biggl\{ \begin{matrix} \frac{5}{16}t^2 & \text{ für } & 0\le t \le 40 \\[5px] -\frac{5}{12}t^2+\frac{175}{3}t-\frac{3500}{3}  & \text{ für } & 40\le t \le 70 \end{matrix}

Start einer Silvesterrakete

Eine Sil­ves­ter­ra­kete wird senk­recht vom Erd­bo­den in den Nacht­him­mel geschos­sen. Der Treib­satz brennt in 4s ab, d.h. die Rakete wird in die­sem Moment nicht mehr beschleu­nigt. Nach­dem der Treib­satz aus­ge­brannt ist, nimmt die Geschwin­dig­keit der wei­ter­hin senk­recht auf­stei­gen­den Rakete inner­halb von 2s linear auf 0 m/s im höchs­ten Punkt ab. Der gesamte Geschwin­dig­keits­ver­lauf für den Auf­stieg der Rakete ist im fol­gen­den Dia­gramm idea­li­siert dargestellt.

Auf­ga­ben

  1. Zeichne das Dia­gramm in dein Heft.
  2. Bestimme anhand des Dia­gramms, wann die Rakete ihre maxi­male Geschwin­dig­keit und wann sie ihre maxi­male Flug­höhe erreicht. 
  3. Bestimme eine abschnitts­weise defi­nierte Funk­tion für die Geschwin­dig­keit v(t) der Rakete.
  4. Ermit­tele gra­phisch einen unge­fäh­ren Wert für die maxi­male Flughöhe.
  5. Bestimme einen genaue­ren Wert für die Flughöhe
    1. Im Inter­vall [0; 4] als Mit­tel­wert aus Ober- und Unter­summe mit der Breite 1.
    2. Im Inter­vall [4; 6] durch Flächenberechnung.
  6. Berechne mit dem Haupt­satz (Siehe Infor­ma­tion Seite 81/82) die Höhe der Sil­ves­ter­ra­kete nach 4 Sekunden.
  1. Siehe oben.
  2. Das Maxi­mum der Geschwin­dig­keit wird zum Zeit­punkt t=4 erreicht. Die maxi­male Höhe wird aller­dings erst zur Zeit t=6 erreicht. Erst nach die­ser Zeit bekommt die Rakete eine nega­tive Geschwin­dig­keit. Das bedeu­tet, dass sich ihre Höhe wie­der verringert.
  3. Steck­brief­auf­gabe mit
    v_1(t)=at^2+bt+c und v_1'(t)=2at+b .
    Bedin­gun­gen:
    I: v_1(0) = 0\cdot a+0\cdot b + c = 0
    II: v_1(4) = 16\cdot a+4\cdot b + c = 20
    III: v_1'(4) = 8\cdot a+b = 0 .
    Der GTR lie­fert a=-\frac{5}{4}; b=10; c = 0 \Rightarrow
    v_1(t)=-\frac{5}{4}t^2 + 10t .
    Die Schei­tel­punkts­form v_1(t)=-\frac{5}{4}(t-4)^2+20 führt zum äqui­va­len­ten Ergebnis.
  4. Jedes Käst­chen im Dia­gramm steht für 5 Meter Höhe. Unter der Gerade wer­den genau 4 Käst­chen ein­ge­schlos­sen und unter der Para­bel ca. 10, ins­ge­samt also ca. 14 Käst­chen. Somit erwar­ten wir eine gesamte Höhe von ca. 14·5 = 70 Metern.
  5. Die genauere Berech­nung der Höhe lie­fert 72,5 Meter: 
    1. Unter­summe = v_1(0)\cdot 1+v_1(1)\cdot 1 +v_1(2)+v_1(3)\cdot 1 = 42{,}5;
      Ober­summe = v_1(1)\cdot 1+v_1(2)\cdot 1 +v_1(3)+v_1(4)\cdot 1 = 62{,}5;
      Mit­tel­wert = 52,5 Meter.
    2. Die Grund­seite des Drei­ecks ist 2 Sekun­den, die Höhe 20 Meter/Sekunde, also beträgt der Flä­chen­in­halt 20 Meter.
  6. Durch „Auf­lei­ten” berech­nen wir die Stamm­funk­tion H(t) = -\frac{5}{12}t^3+5t^2.
    Mit dem Haupt­satz bestim­men wir die Höhe der Rakete nach 4 Sekun­den:
    \int_0^4 v_1(t) dt =[H(t)]_0^4=H(4) - H(0) =-\frac{5}{12}4^3+5\cdot 4^2 -0 = \frac{160}{3}\approx 53{,}33 Meter.
    Dazu kom­men noch die 20 Meter im Inter­vall [4; 6]. Ins­ge­samt erreicht die Rakete eine Höhe von ca. 75,3 Metern. Dies ist ein ziem­lich genauer Wert.

Ein Regen­rück­hal­te­be­cken

Am Rand eines Natur­schutz­ge­bie­tes befin­det sich ein klei­ne­res Regen­rück­hal­te­be­cken. Die­ses ist mit 2000 m^3 Was­ser bis zur Unter­kante eines seit­lich gele­ge­nen Ablauf­roh­res teil­weise gefüllt. Durch das Rohr kann das Was­ser in einen nahe gele­ge­nen Fluss abfließen.

Bei einem plötz­lich ein­set­zen­den Platz­re­gen steigt der Was­ser­stand im Becken, da das Ablauf­rohr die Was­ser­mas­sen nicht bewäl­ti­gen kann. Die nach­fol­gende Gra­fik zeigt die Zuflussrate/Abflussrate z(t) in m^3 pro h in Abhän­gig­keit von der Zeit t in h.

Auf­ga­ben

  1. Über­trage das Dia­gramm in dein Heft.
  2. Gib die Zeit­in­ter­valle an, in denen Was­ser zuläuft und die Inter­valle, in denen Was­ser abläuft. Bestimme, zu wel­chem Zeit­punkt das Becken am stärks­ten gefüllt ist und begründe dein Ergebnis. 
  3. Begründe, warum 5 Stun­den nach Beginn des Platz­re­gens die Was­ser­menge im Becken grö­ßer ist als vorher. 
  4. Begründe anschau­lich, dass 9 Stun­den nach Beginn des Platz­re­gens in etwa der alte Was­ser­stand erreicht ist. 
  5. Die Funk­tion z(t)=\frac{800}{27}(t^2-12t+27) beschreibt in etwa die Zufluss/Abflussrate. Berechne die Ände­rung der Was­ser­menge im Inter­vall 0\le t\le 3 und im Inter­vall 3\le t\le 6 mit Ober- und Unter­summe der Breite 1.
  6. Wie­der­hole die Rech­nung aus Teil­auf­gabe 5. mit dem Haupt­satz. Inter­pre­tiere das Ergebnis. 
  1. Siehe oben.
  2. Zwi­schen 0 und 3 Stun­den ist die Zufluss­rate posi­tiv, das bedeu­tet, Was­ser läuft hinzu.
    Zwi­schen 3 und 9 Stun­den ist die Zufluss­rate nega­tiv, das bedeu­tet, Was­ser läuft ab.
  3. Der (posi­tive) Flä­chen­in­halt zwi­schen t‑Achse und Graph im Inter­vall 0 bis 3 Stun­den ist sicht­bar grö­ßer als der (nega­tive) Flä­chen­in­halt im Inter­vall 3 bis 5 Stun­den. Daher ist weni­ger Was­ser wie­der abge­flos­sen als vor­her zuge­flos­sen war.
  4. Nach Augen­maß ist der Flä­chen­in­halt der vom Gra­phen ober­halb der t‑Achse ein­ge­schlos­sen wird gleich­groß wie der unter­halb der t‑Achse. Das bedeu­tet es ist gleich viel Was­ser abge­flos­sen, wie vor­her zuge­flos­sen war.
  5. Berech­nung der Stamm­funk­tion:
    Durch Auf­lei­ten kön­nen wir die Stamm­funk­tion V(t) berechnen:
V(t)= \frac{800}{27}\left(\frac{1}{3}t^3-6t^2+27t\right);\quad  0\le t \le 9.

Mit dem Haupt­satz berech­nen wir die Ände­rung des Was­ser­stan­des.
Im Inter­vall [0;3]: [V(t)]_0^3 = V(3) - V(0) = \frac{3200}{3} .
Im Inter­vall [3;9]: [V(t)]_3^9 = V(9) - V(3) = -\frac{3200}{3} .
Inter­pre­ta­tion: Im Inter­vall [0;3] lau­fen ca 1066,7 m³ Was­ser in das Becken hin­ein und im Inter­vall [3; 9] genauso viel wie­der ab. 

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