Geo­me­tri­sche Deu­tun­gen von Vektoren

Hier gibt es eine Über­sicht der grund­le­gen­den Ope­ra­tio­nen mit Vek­to­ren. Wäh­rend der Rechen­weg mit Koor­di­na­ten eigent­lich selbst­er­klä­rend ist, müs­sen wir uns immer die geo­me­tri­sche Bedeu­tung der ein­zel­nen Vor­gänge klarmachen.

Zur Über­prü­fung der Rech­nun­gen ist die­ser Online-Rech­ner nütz­lich. Danke an Henry für den Link 

Die­ser Bei­trag wird noch fortgesetzt …
Alle Punkte des Drei­ecks wer­den glei­cher­ma­ßen ver­scho­ben. Die Pfeile stel­len jeweils iden­ti­sche Vek­to­ren \color{#0000ff}\vec v dar.
Pfeile, die gleich lang sind und in die glei­che Rich­tung wei­sen reprä­sen­tie­ren iden­ti­sche Vek­to­ren.
Einen Vek­tor \color{#d40000}\vec w , der gleich lang und par­al­lel zu einem gege­be­nen Vek­tor \color{#0000ff}\vec v ist, aber in die ent­ge­gen­ge­setzte Rich­tung weist, nennt man Gegen­vek­tor. Er macht eine Bewe­gung rück­gän­gig.
Der Null­vek­tor \vec o ist ein Pfeil ohne Länge und Richtung.
Der Orts­vek­tor \color{#0000ff}\overrightarrow{OP} ver­bin­det den Ursprung mit dem Punkt \color{#0000ff} P .
Der Ver­schie­bungs­vek­tor \color{#00a000}\overrightarrow{PQ} ver­bin­det zwei Punkte. Es gilt: \textcolor{#00a000}{ \overrightarrow{PQ}} = - \textcolor{#d40000}{\overrightarrow{QP}} .

Feh­ler­quelle: Beim Rech­nen mit den Koor­di­na­ten wird häu­fig die Rei­hen­folge ver­tauscht, d.h. man rech­net \cancel{\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}}. Rich­tig ist \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}. Merk­re­gel: Spitze – Fuß.

Die Addi­tion zweier Vek­to­ren lässt sich als Nach­ein­an­der-Aus­füh­ren zweier Bewe­gun­gen auf­fas­sen. Es gilt das Kom­mu­ta­tiv­ge­setz.
Der Sum­men­vek­tor ist die Dia­go­nale im Vek­tor­par­al­le­lo­gramm.
Man berech­net den Orts­vek­tor eines unbe­kann­ten Punk­tes Q mit Vek­tor­ket­ten aus einem bekann­ten Punkt P.
Die Sub­trak­tion wird als Addi­tion des Gegen­vek­tors defi­niert.
Der Dif­fe­renz­vek­tor ist eben­falls eine Dia­go­nale im Vek­tor­par­al­le­lo­gramm.

Feh­ler­quelle: Der Pfeil der Dif­fe­renz \textcolor{#008000} {\vec u} \textcolor{#D40000}{-} \textcolor{#0000ff} {\vec v} zeigt vom Vek­tor \textcolor{#0000ff} {\vec v} zum Vek­tor \textcolor{#008000} {\vec u} , nicht umge­kehrt. Merk­re­gel: Spitze Fuß.

Mul­ti­pli­ziert man einen Vek­tor \textcolor{#0000ff}{\vec v} \ne \vec o mit einer reel­len Zahl \textcolor{#d40000}{k} \ne 0 ent­steht ein par­al­le­ler Vek­tor. Die­ser Vek­tor ist gegen­über \textcolor{#0000ff}{\vec v} gestreckt oder gestaucht. Es gilt das Dis­tri­bu­tiv­ge­setz.
Zur Probe auf Par­al­le­li­tät zweier Vek­to­ren \textcolor{#008000}{\vec u},\textcolor{#0000ff}{ \vec v} muss man nach­wei­sen, dass ein Streck­fak­tor \textcolor{#d40000}{k} exis­tiert.

Vie­len Dank an Aurelia
Vie­len Dank an Luke

Die Länge eines Vek­tor­pfei­les nennt man den Betrag des Vek­tors.
Der Ein­heits­vek­tor \textcolor{#d40000}{\vec{v_0}} zeigt in die glei­che Rich­tung wie der Vek­tor \textcolor{#0000ff}{\vec{v}} , hat aber den Betrag 1 Längeneinheit.
Der Abstand zweier Punkte ist der Betrag des Verbindungsvektors.

Die Gerade g wird durch ihren Stütz­vek­tor \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{OA}} und ihren Rich­tungs­vek­tor \textcolor{#008000}{\vec v} defi­niert.
Jeden Punkt \color{#d40000}X auf der Gera­den erreicht man als Vek­tor­kette vom Stütz­vek­tor \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{OA}} mit einer geeig­ne­ten Stre­ckung \color{#008000} t\cdot \vec v des Richtungsvektors.
Punkt­probe: Der Punkt \color{#d40000} P liegt genau dann auf der Gera­den g , wenn das LGS \textcolor{#d40000}{\overrightarrow{OP}} = \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{OA}}+\textcolor{#008000}{t\cdot \vec v} in allen drei Glei­chun­gen auf­geht: Die Probe ist notwendig!
Häu­fig wird eine Gerade durch zwei Punkte A und B fest­ge­legt. Als Stütz­vek­tor dient der Orts­vek­tor eines Punk­tes, z.B. \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{OA}} . Als Rich­tungs­vek­tor kommt der Ver­bin­dungs­vek­tor \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{AB}} der bei­den Punkte in Frage.
Punkt­probe mit einer Stre­cke: Der Punkt \color{#d40000} P liegt genau dann im Inne­ren der Stre­cke \textcolor{#0000ff}{\overline{AB}} , wenn das LGS \textcolor{#d40000}{\overrightarrow{OP}} = \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{OA}}+\textcolor{#008000}{t} \cdot \textcolor{#0000FF}{\overrightarrow{AB}} in allen drei Glei­chun­gen auf­geht (Probe) und zugleich die Bedin­gung 0 \le \textcolor{#008000} t \le 1 erfüllt ist.

Feh­ler­quelle: Die Bedin­gung 0 \le \textcolor{#008000} t \le 1 kann nur dann erfüllt wer­den, wenn in der Gera­den­glei­chung \textcolor{#d40000}{\overrightarrow{OX}} = \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{OA}}+\textcolor{#008000}{t} \cdot \textcolor{#0000FF}{\overrightarrow{AB}} der Rich­tungs­vek­tor \textcolor{#0000FF}{\overrightarrow{AB}} rich­tig ori­en­tiert ist. D.h. er muss von dem Stütz­punkt \textcolor{#0000ff} A zu dem zwei­ten Punkt \textcolor{#0000ff} B zei­gen und nicht umgekehrt.

Spur­punkte sind die Schnitt­punkte einer Gera­den mit den Ebe­nen des Koor­di­na­ten­sys­tems. Man erhält die Koor­di­na­ten der Spur­punkte, indem man die jeweils andere Koor­di­nate gleich 0 setzt.

Gege­ben sind zwei Geradengleichungen:

g: \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{u}\\
h: \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OB}+s\cdot \overrightarrow{v}
Zwei Gera­den sind iden­tisch, wenn die Rich­tungs­vek­to­ren par­al­lel zuein­an­der sind und einer der Stütz­punkte in der jeweils ande­ren Gerade liegt.
Zwei Gera­den sind par­al­lel und ver­schie­den, wenn einer der Stütz­punkte nicht in der jeweils ande­ren Gerade liegt.
Zwei Gera­den haben einen Schnitt­punkt, wenn das LGS \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{OA}}+r\cdot \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{#d40000}{\overrightarrow{OB}}+s\cdot \textcolor{#d40000}{\overrightarrow{v}} in allen drei Glei­chun­gen auf­geht. Probe mit der 3. Glei­chung oder Dummy-Spalte im GTR!
Zwei Gera­den nennt man wind­schief, wenn das LGS \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{OA}}+r\cdot \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{#d40000}{\overrightarrow{OB}}+s\cdot \textcolor{#d40000}{\overrightarrow{v}} keine Lösung hat.
Um den Abstand eines exter­nen Punk­tes P von einer Gera­den zu bestim­men, sucht man den Lot­fuß­punkt F. Der Ver­bin­dungs­vek­tor von P zu F steht ortho­go­nal zu dem Rich­tungs­vek­tor.

Rechen­bei­spiel

Gege­ben sei der Punkt P(10|5|7) und die Gerade

g: \overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}.

Gesucht ist der Abstand von P zu g.

Schritt 1: Orts­vek­tor zum Fußpunkt

\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}-2+4r\\1+r\\7-3r\end{pmatrix}

Schritt 2: Dif­fe­renz­vek­tor zwi­schen P und F.

\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix}

Schritt 3: Orthogonalitätsbedingung

\overrightarrow{PF}*\vec v =0\\
\begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 4\\1\\-3\end{pmatrix}=0\\
-48+16r-4+r+9r=0\\
-52+26r=0\\
r=2.

Schritt 4: Fuß­punkt und Abstand bestim­men. Wir set­zen r = 2 in \overrightarrow {OF} und \overrightarrow {PF} ein:

\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}-2+4\cdot 2\\1+2\\7-3\cdot 2\end{pmatrix} \Rightarrow\\
F(6|3|1).
\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-12+4\cdot 2\\-4+2\\-3\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\-6\end{pmatrix}\Rightarrow\\
d=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-6)^2}\\ =\sqrt{56}\approx 7{,}48\text{ LE}

Geschafft!!

Um den Abstand zweier wind­schie­fer Gera­den zu bestim­men, muss man zwei Punkte G und H so wäh­len, dass ihr Ver­bin­dungs­vek­tor gleich­zei­tig ortho­go­nal zu bei­den Rich­tungs­vek­to­ren steht.
Vie­len Dank an Henry für das Rechenbeispiel!
Jeden Punkt X auf der Ebene E kann ich errei­chen, indem ich mich vom Stütz­punkt A um ein bestimm­tes Stück r\cdot \color{#0000ff} \vec u in Rich­tung \color{#0000ff} \vec u bewege und dann um ein bestimm­tes Stück s\cdot \color{#d40000} \vec v in Rich­tung \color{#d40000} \vec v .

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