Hier gibt es eine Übersicht der grundlegenden Operationen mit Vektoren. Während der Rechenweg mit Koordinaten eigentlich selbsterklärend ist, müssen wir uns immer die geometrische Bedeutung der einzelnen Vorgänge klarmachen.
Zur Überprüfung der Rechnungen ist dieser Online-Rechner nützlich. Danke an Henry für den Link
Dieser Beitrag wird noch fortgesetzt …
Der Nullvektor \vec o ist ein Pfeil ohne Länge und Richtung.
Der Verschiebungsvektor \color{#00a000}\overrightarrow{PQ} verbindet zwei Punkte. Es gilt: \textcolor{#00a000}{ \overrightarrow{PQ}} = - \textcolor{#d40000}{\overrightarrow{QP}} .
Fehlerquelle: Beim Rechnen mit den Koordinaten wird häufig die Reihenfolge vertauscht, d.h. man rechnet \cancel{\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}}. Richtig ist \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}. Merkregel: Spitze – Fuß.
Der Summenvektor ist die Diagonale im Vektorparallelogramm.
Der Differenzvektor ist ebenfalls eine Diagonale im Vektorparallelogramm.
Fehlerquelle: Der Pfeil der Differenz \textcolor{#008000} {\vec u} \textcolor{#D40000}{-} \textcolor{#0000ff} {\vec v} zeigt vom Vektor \textcolor{#0000ff} {\vec v} zum Vektor \textcolor{#008000} {\vec u} , nicht umgekehrt. Merkregel: Spitze → Fuß.
Zur Probe auf Parallelität zweier Vektoren \textcolor{#008000}{\vec u},\textcolor{#0000ff}{ \vec v} muss man nachweisen, dass ein Streckfaktor \textcolor{#d40000}{k} existiert.
Der Einheitsvektor \textcolor{#d40000}{\vec{v_0}} zeigt in die gleiche Richtung wie der Vektor \textcolor{#0000ff}{\vec{v}} , hat aber den Betrag 1 Längeneinheit.
Jeden Punkt \color{#d40000}X auf der Geraden erreicht man als Vektorkette vom Stützvektor \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{OA}} mit einer geeigneten Streckung \color{#008000} t\cdot \vec v des Richtungsvektors.
Fehlerquelle: Die Bedingung 0 \le \textcolor{#008000} t \le 1 kann nur dann erfüllt werden, wenn in der Geradengleichung \textcolor{#d40000}{\overrightarrow{OX}} = \textcolor{#0000ff}{\overrightarrow{OA}}+\textcolor{#008000}{t} \cdot \textcolor{#0000FF}{\overrightarrow{AB}} der Richtungsvektor \textcolor{#0000FF}{\overrightarrow{AB}} richtig orientiert ist. D.h. er muss von dem Stützpunkt \textcolor{#0000ff} A zu dem zweiten Punkt \textcolor{#0000ff} B zeigen und nicht umgekehrt.
Gegeben sind zwei Geradengleichungen:
g: \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{u}\\
h: \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OB}+s\cdot \overrightarrow{v}
Rechenbeispiel
Gegeben sei der Punkt P(10|5|7) und die Gerade
g: \overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}.Gesucht ist der Abstand von P zu g.
Schritt 1: Ortsvektor zum Fußpunkt
\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}-2+4t\\1+t\\7-3t\end{pmatrix}Schritt 2: Differenzvektor zwischen P und F.
\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-12+4t\\-4+t\\-3t\end{pmatrix}Schritt 3: Orthogonalitätsbedingung
\overrightarrow{PF}*\vec v =0\\
\begin{pmatrix}-12+4t\\-4+t\\-3t\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 4\\1\\-3\end{pmatrix}=0\\
-48+16t-4+t+9t=0\\
-52+26t=0\\
t=2.Schritt 4: Fußpunkt und Abstand bestimmen. Wir setzen t = 2 in \overrightarrow {OF} und \overrightarrow {PF} ein:
\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}-2+4\cdot 2\\1+2\\7-3\cdot 2\end{pmatrix} \Rightarrow\\[5pt]
F(6|3|1).\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-12+4\cdot 2\\-4+2\\-3\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\-6\end{pmatrix}\Rightarrow\\[5pt]
d=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-6)^2}\\[5pt] =\sqrt{56}\approx 7{,}48\text{ LE}Geschafft!!
9 Kommentare
Kommentieren →Meinr Lösung zu 185 16–18
176 Nr2/177 Nr7&8
170 Nummer 8 und 9
Hier meine HA S. 165,4&5
Mathe 2
Anbei Aufgabe 2 auf der Seite 200 und Aufgabe 3 auf der Seite 201
Anbei Seite 165 Nummer 3 und 4
Hausaufgabe:
Seite 165 Nummer 3,4( Subtraktion),5,10
Lg
165 Nummer 3,4 ( nur die Additionsaufgaben )
160 Nummer 4