Grund­auf­ga­ben mit Gera­den­scha­ren

Ähn­lich zu den Ebe­nen­scha­ren ver­wan­delt ein zusätz­li­cher Para­me­ter die Par­me­ter­form einer Gerade in eine Schar von Gera­den. Auch die Gera­den­scha­ren kön­nen ganz unter­schied­li­che Lagen zuein­an­der haben. Zwei beson­dere Typen, die Schar par­al­le­ler Gera­den und das Gera­den­bü­schel kom­men in Auf­ga­ben häu­fi­ger vor.

In die­sem Bei­trag wer­den einige Grund­auf­ga­ben vor­ge­stellt.

Merke: Die Glei­chungs­sys­teme, die bei Gera­den­scha­ren ent­ste­hen las­sen sich in vie­len Fäl­len nicht mit dem GTR lösen. Häu­fig gibt es Pro­dukte von Para­me­tern, d.h. die Glei­chungs­sys­teme sind nicht linear.
a) Die Gera­den des Büschels haben einen gemein­sa­men Stütz­vek­tor, der Para­me­ter steht im Rich­tungs­vek­tor.
b) Die Gera­den der par­al­le­len Schar haben den Rich­tungs­vek­tor gemein­sam, der Para­me­ter steht im Stütz­vek­tor.

Einige Grund­auf­ga­ben im Video

Glei­chungs­sys­teme, die Pro­dukte der Para­me­ter ent­hal­ten, z.B. a·r, kön­nen nicht mit dem GTR, son­dern nur „zu Fuß” mit dem Gauß- und/oder dem Ein­setz­ver­fah­ren gelöst wer­den.

Wei­tere mög­li­che Auf­ga­ben zu Gera­den­bü­scheln

Gege­ben sind die Gera­den­schar

g_a:\overrightarrow{0X}=\left(\begin{matrix}-6\\8\\7 \end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix}1+2\cdot a\\2-2\cdot a\\2+a \end{matrix}\right), \ a\in\mathbb{R},

sowie die Punkte A(-6|8|7) und C(1|-8|6) .

  1. Zeige, dass die Gerade h durch die Punkte A und C Teil der Schar ist.
  2. Unter­su­che, ob es eine Gerade aus der Schar gibt, die ortho­go­nal zu der Gera­den h liegt.
  3. Bestimme die Ebene in Koor­di­na­ten­form, die alle Gera­den der Schar ent­hält.
  1. Wir stel­len die Glei­chung der Gera­den h durch A und C auf:
h: \overrightarrow{0X}=\overrightarrow{0A}+r\cdot \overrightarrow{AC}\\[5pt] h: \overrightarrow{0X}=\left(\begin{matrix}-6\\8\\7 \end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}7\\-16\\-1 \end{matrix}\right).

Die Stütz­vek­to­ren von h und g_a stim­men über­ein. Wir müs­sen nun den Para­me­ter a so wäh­len, dass die Rich­tungs­vek­to­ren von h und g_a Viel­fa­che von­ein­an­der sind:

k\cdot \left(\begin{matrix}7\\-16\\-1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1+2\cdot a\\2-2\cdot a\\2+a \end{matrix}\right)

Es ergibt sich ein LGS mit drei Glei­chun­gen und den zwei Varia­blen k und a . Da hier keine Pro­dukte der Varia­blen vor­kom­men, kön­nen wir es mit dem GTR lösen, indem wir eine Null­spalte in der Varia­blen d als Dummy ergän­zen:

\left. \begin{matrix}k&a&d&\\7&-2&0\\-16&2&0\\-1&-1&0 \end{matrix} \right |\begin{matrix}R\\ 1 \\2\\2\end{matrix}

Mit dem GTR erhal­ten wir die Lösung a = -\frac{5}{3} . Die Lösung k = -\frac{1}{3} ist nicht rele­vant für die Auf­ga­ben­stel­lung. Die Gerade durch die Punkte A, C ist somit iden­tisch mit g_{-\frac{5}{3}} .

  1. Wir bestim­men den Para­me­ter a so, dass der Rich­tungs­vek­tor der Schar ortho­go­nal zum Rich­tungs­vek­tor von h ist:
\left(\begin{matrix}7\\-16\\-1 \end{matrix}\right)\ast \left(\begin{matrix}1+2\cdot a\\2-2\cdot a\\2+a \end{matrix}\right)=0\\[5pt] 7+14\cdot a-32+32\cdot a-2-a=0\\ -27+45\cdot a=0\\ a=\frac{3}{5}=0{,}6.

Die Gerade g_{0{,}6} steht ortho­go­nal zur Gera­den h .

  1. Wir suchen uns zwei Rich­tungs­vek­to­ren her­aus, die nicht par­al­lel zu ein­an­der lie­gen und mög­lichst ein­fach sind. Hier bie­ten sich a= 1 und a=-2 an. Wir bil­den das Vek­tor­pro­dukt, um einen Nor­ma­len­vek­tor zu bestim­men:
\vec{n}=\left(\begin{matrix}3\\0\\3 \end{matrix}\right)\times \left(\begin{matrix}-3\\6\\0 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-9\\18 \end{matrix}\right)

Mit dem Stütz­punkt A und Divi­sion durch 9 ergibt sich eine Koor­di­na­ten­form der Ebene:

E: -2\cdot x_1-x_2+2\cdot x_3=18.

Die Probe ist not­wen­dig, denn wir müs­sen nach­wei­sen, dass alle Gera­den der Schar in unse­rer Ebene lie­gen. Hierzu set­zen wir die all­ge­meine Form der Gera­den­schar in die Koor­di­na­ten­form ein:

-2\cdot (-6+r+2\cdot r\cdot a)-(8+2\cdot r-2\cdot r\cdot a)\\ +2\cdot (7+2\cdot r+r\cdot a)=18\Rightarrow\\ 18=18.

Terme mit r und r\cdot a heben sich auf, es bleibt eine wahre Aus­sage zurück, q.e.d.

Für die Probe reicht es auch aus, wenn wir zei­gen:

  • Der Rich­tungs­vek­tor der Gera­den­schar steht – unab­hän­gig vom Para­me­ter a – ortho­go­nal auf dem Nor­ma­len­vek­tor der Ebene,
  • Der Stütz­vek­tor der Gera­den­schar ist Teil der Ebene.

Der erste Schritt ist rech­ne­risch etwas ein­fa­cher, als das Ein­set­zen der Gera­den­schar.

Den zwei­ten Schritt haben wir in die­ser Auf­gabe schon bei der Berech­nung der Ebe­nen­glei­chung erle­digt.

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