Wenn in einer Ebenengleichung ein zusätzlicher Parameter vorkommt, handelt es sich um eine Ebenenschar. Es gibt unzählige Möglichkeiten, wie die einzelnen Ebenen einer Schar zueinander orientiert sein können. Zwei besondere Arten sind Ebenenbüschel, die eine Schnittgerade gemeinsam haben, und zueinander parallele Ebenen.
In diesem Beitrag werden einige grundlegende Aufgabenstellungen gezeigt.
b) Parallele Ebenen haben gemeinsame Normalenvektoren, z.B.
E_a:x_1 -2\cdot x_2+x_3= 3-a .
Wir betrachten in diesem Beitrag ein Ebenenbüschel vom Typ a), zum Beispiel:
E_a: x_1+(1-a)\cdot x_2+(a-3)\cdot x_3=3, \ a\in \mathbb{R}.
Zeige, dass eine Ebene Teil der Schar ist
Gegeben sei die Ebene E: x_1-6x_2+4x_3=3 .
Zeige dass E\in E_a ist.
Bestimme den Parameter so, dass ein Punkt in dieser Ebene liegt
Gegeben sei der Punkt P(3|2|4) .
Bestimme diejenige Ebene der Schar, die den gegebenen Punkt enthält.
Zeige, dass ein Punkt in jeder Ebene der Schar liegt
Gegeben sei der Punkt P(1|-1|-1) .
Zeige, dass jede Ebene der Schar diesen Punkt enthält.
Berechne die Gleichung der Schnittgeraden
Bestimme die Schnittgerade, die in jeder Ebene der Schar liegt.
Abituraufgabe aus dem Jahr 2015
Bei dieser Aufgabe kommen Ebenescharen vor und auch die Abstandsberechnung mit der Hesse’schen Normalenform lässt sich gewinnbringend einsetzten. Das Passwort ist das übliche hier im Blog.
7 Kommentare
Kommentieren →Hier sind jetzt auch meine Lösungen:
Ebenenscharen Carolin
Lieber Herr Fuchs,
bei der Übungsaufgabe, in der man zeigen muss, dass die Ebene ein Teil der Schar ist, müsste der Koeffizient vor x3 4 statt ‑4 lauten, da sonst nicht 7 rauskommt. Da ist ein kleiner Vorzeichenfehler.
Du hast Recht, vielen Dank für den Hinweis.
Hier meine Lösungen:
David Lösungen Abi-Aufg 2015
Hier mein Lösungsvorschlag! 🙂
Ebenenschar
Hallo,
wie komme ich bei der Aufgabe b 3 auf diese Schnittgebilde?
Hallo Henry,
Die Ebenenschar rotiert um die Kante BC. Je nach Winkel kann die Ebene die Pyramide gar nicht schneiden. Das erste Schnittgebilde ist ein Dreieck. Wenn sich die Ebene weiter dreht, entsteht ein Trapez. Zuletzt, wenn die Ebene genau in der Grundfläche liegt, gibt es ein Quadrat.