Grund­auf­ga­ben mit Ebe­nen­scha­ren

Wenn in einer Ebe­nen­glei­chung ein zusätz­li­cher Para­me­ter vor­kommt, han­delt es sich um eine Ebe­nen­schar. Es gibt unzäh­lige Mög­lich­kei­ten, wie die ein­zel­nen Ebe­nen einer Schar zuein­an­der ori­en­tiert sein kön­nen. Zwei beson­dere Arten sind Ebe­nen­bü­schel, die eine Schnitt­ge­rade gemein­sam haben, und zuein­an­der par­al­lele Ebe­nen.

In die­sem Bei­trag wer­den einige grund­le­gende Auf­ga­ben­stel­lun­gen gezeigt.

a) Ebe­nen­bü­schel haben eine gemein­same Schnitt­ge­rade.
b) Par­al­lele Ebe­nen haben gemein­same Nor­ma­len­vek­to­ren, z.B.
E_a:x_1 -2\cdot x_2+x_3= 3-a .

Wir betrach­ten in die­sem Bei­trag ein Ebe­nen­bü­schel vom Typ a), zum Bei­spiel:

E_a: x_1+(1-a)\cdot x_2+(a-3)\cdot x_3=3, \ a\in \mathbb{R}.

Zeige, dass eine Ebene Teil der Schar ist

Gege­ben sei die Ebene E: x_1-6x_2+4x_3=3 .
Zeige dass E\in E_a ist.

Wir müs­sen den zu E pas­sen­den Para­me­ter a fin­den. Dazu schrei­ben wir die Glei­chung der Ebe­nen­schar und die gege­bene Ebe­nen­glei­chung unter­ein­an­der und ver­glei­chen die Koef­fi­zi­en­ten von x_1, x_2 und x_3 :

\begin{matrix} E_a: &x_1&+(1-a)&x_2&+(a-3) &x_3=3\\ E: &x_1&-6&x_2&+4&x_3=3 \end{matrix}

Aus x_2 \Rightarrow 1-a = -6 \Rightarrow a = 7 ,
und aus x_3 \Rightarrow a-3 = 4 \Rightarrow a = 7 .
Es zeigt sich, dass E=E_7 ist.

Bestimme den Para­me­ter so, dass ein Punkt in die­ser Ebene liegt

Gege­ben sei der Punkt P(3|2|4) .
Bestimme die­je­nige Ebene der Schar, die den gege­be­nen Punkt ent­hält.

Wir machen die Punkt­probe, indem wir P in die Ebe­nen­schar ein­set­zen:

E_a: 3+(1-a)\cdot 2+(a-3)\cdot 4=3\\ 3+2-2\cdot a+4\cdot a-12=3\\ 2\cdot a=10\\ a=5\Rightarrow\\ P\in E_5: x_1-4x_2+2x_3=3.

Eine Probe im Kopf gerech­net zeigt, dass das Ergeb­nis kor­rekt ist.

Zeige, dass ein Punkt in jeder Ebene der Schar liegt

Gege­ben sei der Punkt P(1|-1|-1) .
Zeige, dass jede Ebene der Schar die­sen Punkt ent­hält.

Wir machen die Punkt­probe, indem wir P in die Ebe­nen­schar ein­set­zen:

E_a: 1+(1-a)\cdot (-1)+(a-3)\cdot (-1)=3\\ 1-1+ a+-a +3=3\\ 3=3.

Terme mit a heben sich her­aus, es bleibt eine wahre Aus­sage zurück: q.e.d.

Berechne die Glei­chung der Schnitt­ge­ra­den

Bestimme die Schnitt­ge­rade, die in jeder Ebene der Schar liegt.

Wir betrach­ten zwei Exem­plare der Ebe­nen­schar und berech­nen die Schnitt­ge­rade die­ser bei­den Ebe­nen. Es ist sinn­voll die bei­den Ebene so aus­zu­su­chen, dass mög­licht viele Nul­len ent­ste­hen, z.B. E_1 und E_3 :

E_1: x_1-2\cdot x_3=3\\ \underline{E_3: x_1 -2\cdot x_2=3}\ | E_1-E_3\\ 2\cdot x_2-2\cdot x_3=0\ | :2\\ x_2-x_3=0.

Wir set­zen x_3=t und erhal­ten damit die Gera­den­glei­chung:

g:\overrightarrow{0X}=\left(\begin{matrix}3\\0\\0 \end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix}2\\1\\1 \end{matrix}\right).

Wir müs­sen nun noch zei­gen, dass g\in E_a ist, d.h., dass die Gerade in allen Ebe­nen der Schar ent­hal­ten ist. Dazu set­zen wir die Gerade in die Schar ein:

(3+2\cdot t)+(1-a)\cdot (0+t)+((a-3)\cdot (0+t)=3\\ 3+2\cdot t+t-a\cdot t+a\cdot t-3\cdot t=3\\ 3=3.

Terme mit t heben sich auf und es bleibt eine wahre Aus­sage übrig: q.e.d.

Abitur­auf­gabe aus dem Jahr 2015

Bei die­ser Auf­gabe kom­men Eben­escha­ren vor und auch die Abstands­be­rech­nung mit der Hesse’schen Nor­ma­len­form lässt sich gewinn­brin­gend ein­setz­ten. Das Pass­wort ist das übli­che hier im Blog.

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7 Kommentare

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Lie­ber Herr Fuchs,
bei der Übungs­auf­gabe, in der man zei­gen muss, dass die Ebene ein Teil der Schar ist, müsste der Koef­fi­zi­ent vor x3 4 statt ‑4 lau­ten, da sonst nicht 7 raus­kommt. Da ist ein klei­ner Vor­zei­chen­feh­ler.

Hallo Henry,

Die Ebe­nen­schar rotiert um die Kante BC. Je nach Win­kel kann die Ebene die Pyra­mide gar nicht schnei­den. Das erste Schnitt­ge­bilde ist ein Drei­eck. Wenn sich die Ebene wei­ter dreht, ent­steht ein Tra­pez. Zuletzt, wenn die Ebene genau in der Grund­flä­che liegt, gibt es ein Qua­drat.

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