Extrem­wert­auf­ga­ben: Flä­chen unter einem Funktionsgraphen

Ein Punkt auf einem Funk­ti­ons­gra­phen kann zusam­men mit wei­te­ren Punk­ten auf den Koor­di­na­ten­ach­sen ein Drei­eck oder ein Vier­eck bil­den. Wenn diese Punkte ver­scho­ben wer­den, ver­än­dert sich der Flä­chen­in­halt die­ser Figu­ren. Gibt es Extrem­werte zu den Flä­chen­in­hal­ten, d.h. kann der Flä­chen­in­halt maxi­mal oder mini­mal werden?

O liegt im Ursprung, P auf der x‑Achse, Q auf dem Gra­phen der Funk­tion f(x) und R auf der y‑Achse.

Auf­ga­ben

  1. Tippe auf die Abbil­dung um eine Ani­ma­tion zu star­ten. Ver­schiebe den Punkt P auf der x‑Achse und beob­achte, wie sich der Flä­chen­in­halt des Recht­ecks ver­än­dert. Ver­su­che, den Punkt so zu ver­schie­ben, dass die­ser Flä­chen­in­halt maxi­mal wird.
  2. Stelle einen Term für den Flä­chen­in­halt A(u) des Recht­ecks auf, der von der Posi­tion des Punk­tes P(u|0) abhängt. Lege auch einen sinn­vol­len Defi­ni­ti­ons­be­reich für die Varia­ble u fest.
    Hin­weise:
    • Häu­fig wird bei sol­chen Auf­ga­ben die x‑Koordinate des beweg­li­chen Punk­tes mit dem Buch­sta­ben u bezeichnet.
    • Ori­en­tiere dich an der Infor­ma­tion auf Seite 38 im Buch.
  3. Bestimme mit not­wen­di­ger und hin­rei­chen­der Bedin­gung die Extrem­stel­len der Ziel­funk­tion A(u) . Unter­su­che jeweils auch die Rän­der des Defi­ni­ti­ons­be­rei­ches. Bestimme den maxi­ma­len Flä­chen­in­halt des Rechtecks.

Aus dem Abitur 2021 mit Hilfsmitteln

Die Abbil­dung zeigt den Gra­phen der in \R defi­nier­ten Funk­tion f mit

f(x)=-\frac{5}{16}x^4+5x^3.
Skiz­ziere die Abbil­dung in deine Unterlagen.

a)

(1) Zei­gen Sie rech­ne­risch, dass der Punkt (12 | 2160) ein Hoch­punkt des Gra­phen von f ist und dass die Tan­gente an den Gra­phen von f im Punkt (0 | 0) par­al­lel zur x‑Achse verläuft.


(2) Bestim­men Sie eine Glei­chung der Gera­den g , die durch die bei­den Wen­de­punkte des Gra­phen von f ver­läuft.
Zeich­nen Sie in die Abbil­dung eine Gerade ein, die par­al­lel zu g ist und für 0 ≤ x ≤ 8 mit dem Gra­phen von f genau einen Punkt gemein­sam hat.

(3) Die Punkte O(0 | 0), B( u | 0) und C( u | f(u) ) bil­den für jede reelle Zahl u mit 0 < u < 16 ein Drei­eck OBC.
Ermit­teln Sie den­je­ni­gen Wert von u , für den der Flä­chen­in­halt des Drei­ecks OBC maxi­mal wird, und geben Sie die­sen Flä­chen­in­halt an.
[Hin­weis: Eine Betrach­tung der Rand­werte ist nicht erforderlich.]

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