Extrempunkte: Notwendige und hinreichende Bedingung mit dem GTR

Einsatz des GTR zur Bestimmung von Extrempunkten am Beispiel einer ganzrationalen Funktion.
Aufgabe Seite 163 Nr. 6 d)

f(x)=\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 -12x+7

Funktion und Ableitung im GTR anlegen

Tipp: Mit OPTN-CALC‑d/dx kannst du die Ableitung in Y2 berechnen lassen. Gib dazu in der Klammer Y1 ein.

Gehe in das Graphikmenu 5 und lösche alle nicht benötigten Funktionen. Gib in Y1 die Funktion f(x) aus Aufgabe 6 d) ein und in Y2 die Ableitung $f'(x)=x^4 - x^2 -12$ . Das V‑Window sollte ‑3 < x < 3 und ‑15 < y < 30 sein. Mit DRAW kannst du dir die Graphen der beiden Funktionen ansehen. Beachte insbesondere die Lage der Nullstellen von f‘(x) (rot), ihren Vorzeichenwechsel sowie die Lage der Extrempunkte von f(x) (blau).

Mit den beiden Graphikvariablen Y1 und Y2 kannst du sehr praktisch die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrempunkte auswerten. Gehe hierzu in das Menu 1. Mit Y1(1) berechnest du den Funktionswert f(1), d.h. du hast x=1 in f(x) eingesetzt. Mit Y2(1) berechnest du entsprechend die Ableitung f‘(1) an der Stelle x=1, d.h. du setzt x=1 in f‘(x) ein. Die Graphikvariablen Y1 und Y2 erreichst du mit der Taste VARS.

Erforderliche Dokumentation

Gib immer den Funktionsterm der Ableitung in deinen Unterlagen an, hier

f'(x)=x^4 -x^2 -12.

Notwendige Bedingung für Extremstellen: f‘(x) = 0, d.h. die Nullstellen von f‘(x) sind gesucht.
Drücke OPTN F4 (CALC) F5 (SolveN). Drücke VARS F4 (Graph) F1 (Y) gefolgt von der Zahl 2. In der Eingabezeile sollte dann stehen SolveN(Y2). Drücke EXE gefolgt von EXIT. Das Ergebnis ist {-2; 2}. Dies sind die Nullstellen von f‘(x), denn f‘(x) war ja unter Y2 abgelegt. Also x = ‑2 v x = 2.

Hinreichende Bedingung: VZW von f‘(x). Drücke VARS F4 (GRAPH) F1 (Y) gefolgt von der Zahl 2 und in Klammern die Stelle x:
x = ‑2      Y2(-3) EXE ergibt 60   Y2(0) EXE ergibt ‑12
⇒   VZW $+ \ \rightarrow \ - \ \Rightarrow$ HP
x = 2       Y2(0) EXE ergibt ‑12   Y2(3) EXE ergibt 60
⇒ VZW $- \ \rightarrow \ + \ \Rightarrow$ TP

Funktionswert berechnen: Hier arbeitest du mit der Graphikvariablen Y1, die für f(x) steht:
x = ‑2 Y1(-2) EXE ergibt 409/15 F‑D ergibt 27,27
⇒ HP(-2|27,27)
x = 2 Y1(2) EXE ergibt ‑199/15 F‑D ergibt ‑13,27
⇒ TP(2|-13,27)

Fehlerquelle: Vergiss nicht, die Funktionsterme für die Ableitungen in deinen Unterlagen zu dokumentieren, sonst droht ein Punktabzug. Es ist sinnvoll, in den Unterlagen zu notieren, welche Funktion bzw. Ableitung in welcher Graphikvariable abgelegt wurde.

3 a) f(x) = x² – 3x + 2

Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt:
f‘(x) = 2x – 3 = 0

Gesucht sind also Nullstellen von f‘(x), hier: x = 1,5

Hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt: Vorzeichenwechsel von f‘(x) bei

x = 1,5 f’(1) = ‑1; f’(2) = 1 VZW $- \ \rightarrow \ + \ \Rightarrow$
f(1,5) = ‑0,25 ⇒ TP(1,5|-0,25)

3 b) f(x) = 2x³ – 3x² – 12x – 6

Notw. Bed. f’(x) = 6x² – 6x – 12 = 0 ⇒ x = – 1 v x = 2