Erwar­tungs­wert, Vari­anz und Stan­dard­ab­wei­chung einer Zufallsgöße

Der Erwar­tungs­wert E(X) wird häu­fig mit dem Buch­sta­ben µ bezeich­net, das arith­me­ti­sche Mit­tel bei Stich­pro­ben mit X̅. 

Wir haben schon in der Stufe EF gezeigt, wie sich der Erwar­tungs­wert einer Zufalls­größe mit Hilfe einer Tabelle berech­nen lässt. 

Die Vari­anz V(X) ist eine wei­tere wich­tige sta­tis­ti­sche Kenn­größe, die die Streu­ung der Zufalls­größe um den Mit­tel­wert beschreibt. Beide Grö­ßen las­sen sich am bes­ten gemein­sam mit einer Tabelle berechnen. 

Wir defi­nie­ren auch die ebenso wich­tige Größe der Stan­dard­ab­wei­chung σ.

Bei­spiel: Wür­feln mit einem Tetraeder

Die Zufalls­größe X bezeich­net die Augenzahl:

X = k 1234 \Sigma
P(X=k) \frac{1}{4} \frac{1}{4} \frac{1}{4} \frac{1}{4} \frac{4}{4}
k\cdot P(X=k) \frac{1}{4} \frac{2}{4} \frac{3}{4} \frac{4}{4} \frac{10}{4}
k^2\cdot P(X=k) \frac{1}{4} \frac{4}{4} \frac{9}{4} \frac{16}{4} \frac{30}{4}

Erläu­te­run­gen

  • Die erste Zeile gibt die Werte der Zufalls­größe X an, hier die mög­li­chen Würfe 1 bis 4. Das Sum­men­zei­chen \Sigma zeigt an, dass wir in der rech­ten Spalte die Summe über die ganze Zeile berechnen.
  • In der zwei­ten Zeile steht die Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung, d.h. für jeden Wert X = k der Zufalls­größe die zuge­hö­rige Wahr­schein­lich­keit P(X=k). Die Summe muss immer gleich 1 sein, dies ist eine ein­fa­che Mög­lich­keit zur Kontrolle.
  • In der drit­ten Zeile berech­nen wir den Erwar­tungs­wert von X , indem wir jeden Wert der Zufalls­größe mit der zuge­hö­ri­gen Wahr­schein­lich­keit mul­ti­pli­zie­ren und die Ergeb­nisse sum­mie­ren. Wir erhal­ten E(X) =\mu=\frac{10}{4}=2{,}5 .
  • In der letz­ten Zeile berech­nen wir ent­spre­chend den Erwar­tungs­wert von X^2 und erhal­ten E(X^2) =\frac{30}{4}=7{,}5.
  • Mit der For­mel im Merk­kas­ten berech­nen wir schließ­lich die Vari­anz der Zufalls­größe X :
V(X)=E(X^2) - E^2(X)\\[5pt]
V(X)=\frac{30}{4}-\left(\frac{10}{4}\right)^2=\frac{20}{16}=1{,}25.

Die Stan­dard­ab­wei­chung einer Zufallsgröße

Die Vari­anz ist ein gutes Maß für die Streu­ung einer Zufalls­größe um ihren Erwar­tungs­wert. Jedoch ist die Vari­anz immer ein Qua­drat der Zufalls­größe selbst. Die­ser Umstand wirkt sich stö­rend bei Sach­auf­ga­ben aus. Wenn die Zufalls­größe z.B. eine Länge in Metern angibt, wird die Vari­anz in Qua­drat­me­tern gemes­sen. Des­halb defi­nie­ren wir:

Wir berech­nen die Stan­dard­ab­wei­chung für unse­ren Tetra­eder: \sigma=\sqrt {1{,}25} \approx 1{,}12. Ana­lyse: Die Würfe des Tetra­eders wei­chen im Durch­schnitt um ca. 1,12 vom Erwar­tungs­wert µ = 2,5 ab.

Auf­ga­ben

Berechne die Erwar­tungs­werte, Vari­an­zen und Stan­dard­ab­wei­chun­gen der bei­den Ver­tei­lun­gen mit einer Tabelle. Kon­trol­liere mit dem GTR.

Her­lei­tung der For­mel für die Varianz

Die Vari­anz ist ein Maß für die Streu­ung einer Stich­probe bzw. einer Zufalls­ver­tei­lung um ihren Mit­tel­wert bzw. um ihren Erwar­tungs­wert E(X).

Mit dem Sum­men­zei­chen \Sigma lässt sich der Erwar­tungs­wert so darstellen:

E(X = k) = \sum(X=k)\cdot P(X=k).

Das \Sigma ist eine Rechen­vor­schrift, die uns auf­for­dert, jeden Wert der Zufalls­größe X = k mit der zuge­hö­ri­gen Wahr­schein­lich­keit P(X = k) zu mul­ti­pli­zie­ren und alle Pro­dukte auf­zu­ad­die­ren. Siehe die Zeile 3 im der Tabelle des Beispiels.

So geht’s nicht …

Um ein Maß für die Streu­ung zu berech­nen könnte man auf die Idee kom­men, die Abwei­chung der Zufalls­größe X vom Erwar­tungs­wert µ zu berech­nen und davon wie­derum den Erwar­tungs­wert zu bestim­men. Lei­der funk­tio­niert das nicht, denn das Ergeb­nis ist immer gleich Null. Beweis:

E(\mu -X) = \sum(\mu - X)\cdot P(X)\\[5pt]
= \sum\mu\cdot P(X)-\sum X\cdot P(X)\\[5pt]
=\mu\cdot \sum P(X)-\mu=\mu-\mu=0 \ \square

q.e.d.

So schon …

Die mitt­lere Abwei­chung der Zufalls­größe X vom Erwar­tungs­wert µ ist immer gleich Null, das ist die Natur des Erwar­tungs­wer­tes. Um ein bes­se­res Maß für die Streu­ung zu bekom­men, betrach­tet man die mitt­lere qua­dra­ti­sche Abwei­chung vom Erwar­tungs­wert:

E(\mu-X)^2=E(\mu^2-2\mu X+X^2)\\[5pt]
=E(\mu^2)-2\mu E(X) +E(X^2)\\[5pt]
=\mu^2-2\mu^2+E(X^2)\\[5pt]
=E(X^2)-\mu^2 \\[5pt]
\Rightarrow V(X)=E(X^2) -E^2(X) \ \square

Hin­weis: Wir benut­zen das Dis­tri­bu­tiv-Gesetz für den Beweis.

Gra­phi­sche Dar­stel­lung und Stan­dard­ab­wei­chung mit dem GTR

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