Q1PHGK Q1PHLK FUS

Ener­gie­über­tra­gung mit Gleich- und Wechselspannung

Die meis­ten elek­tri­schen Gene­ra­to­ren erzeu­gen eine Wech­sel­span­nung, da mecha­ni­sche Ener­gie aus rotie­ren­den Wel­len in elek­tri­sche Ener­gie umge­wan­delt werden.

In die­sem Bei­trag soll der Ener­gie­ge­halt einer Gleich­span­nung mit der einer Wech­sel­span­nung ver­glei­chen werden.

Die Span­nung U, die eine Glüh­birne zum Leuch­ten bringt, ist pro­por­tio­nal zur Strom­stärke I. Das Ohm­sche Gesetz lau­tet somit.

\boxed{U=R\cdot I}

Für das Ohm­sche Gesetz müs­sen wir vor­aus­set­zen, dass der Wider­stand R der Glüh­birne kon­stant bleibt. Dies ist aber bei den meis­ten Glüh­bir­nen nur nähe­rungs­weise der Fall.

Falls der Wider­stand jedoch kon­stant ist, fol­gen Strom­stärke und Span­nung streng dem Ohm­schen Gesetz, auch dann, wenn sich die Strom­stärke zeit­lich ändert, z.B. beim Wechselstrom.

Die Leis­tung ist ein Maß dafür, wie viel Ener­gie eine Ener­gie­wand­ler pro Sekunde umwan­deln kann. Eine Glüh­birne der Leis­tung 60W wan­delt pro Sekunde 60J elek­tri­scher Ener­gie in Licht und Wärme um.

Die elek­tri­sche Leis­tung P (wie Power) lässt sich beson­ders ein­fach aus der Span­nung U und der Strom­stärke I gewinnen:

\boxed{P=U\cdot I}

Ent­spre­chend wird dann in der Zeit \Delta t fol­gende Ener­gie­menge umgesetzt:

\boxed{E=P\cdot \Delta t=U\cdot I\cdot \Delta t}

Mit dem Ohm­schen Gesetz kön­nen wir die Strom­stärke I=U/R oder die Span­nung U=R\cdot I eli­mi­nie­ren:

\boxed{E=\frac{U^2}{R}\cdot \Delta t = I^2\cdot R\cdot \Delta t}

Diese Bezie­hung gilt nur für einen zeit­lich kon­stan­tem Strom also für Gleich­strom. Im Falle von Wech­sel­strom müs­sen wir die Inte­gral­rech­nung bemühen.

Halte jeweils die gesuchte Größe zu und berechne Sie mit dem Term der übrig bleibt.

Hier gibt es eine schöne Zusam­men­fas­sung der Elek­tri­zi­täts­lehre in der Mit­tel­stufe. Auf­ge­passt, dort wird mit der tech­ni­schen Strom­rich­tung und der Rechte-Hand-Regel gearbeitet. 

LK: Der zeit­li­che Ver­lauf der Wechselspannung

Die Sinus­funk­tion ist eine Funk­tion des Win­kels \phi mit der Peri­ode 360°, wäh­rend die Wech­sel­span­nung eine Funk­tion der Zeit t mit der Peri­ode T=1/f ist.

Im Bei­trag Induk­ti­ons­span­nung einer rotie­ren­den Lei­t­er­schleife haben wir gezeigt, dass der Ver­lauf der Induk­ti­ons­span­nung von der Fre­quenz der rotie­ren­den Lei­t­er­schleife abhängt:

u(t)=\hat u\cdot \sin(2\pi\cdot f\cdot t)\\
u(t)=\hat u\cdot \sin(\omega\cdot t)

Dabei ist \omega=2\pi\cdot f die Kreis­fre­quenz und \hat u die Ampli­tude der Wech­sel­span­nung. Hinweise: 

  • In der Elek­tro­tech­nik ist es üblich, zeit­ab­hän­gige Grö­ßen mit Klein­buch­sta­ben u(t) und feste Grö­ßen mit Groß­buch­sta­ben U zu kenn­zeich­nen. In Haus­aus­ga­ben und Klau­su­ren wird das jedoch nicht bewer­tet.
  • Die Leis­tung P und die Ener­gie E bezeichne ich grund­sätz­lich mit Großbuchstaben.
  • Häu­fig wird anstelle der Sinus­funk­tion mit der Kosi­nus­funk­tion gear­bei­tet.

LK: Die Ener­gie der Wechselspannung

In der fol­gen­den Ani­ma­tion auf Leifi-Phy­sik wird gezeigt, dass die Wech­sel­span­nung die glei­che Ener­gie an einen ohm­schen Wider­stand über­trägt, wie eine Gleich­span­nung mit der effek­ti­ven Span­nung:

u_{eff}=\frac{\hat u}{\sqrt 2}
Begriffe bei der Wech­sel­span­nung: (1) Ampli­tude oder Schei­tel­wert \hat u , (2) Spitze-Tal-Wert, (3) Effek­tiv­wert u_{eff} , Peri­oden­dauer T=1/f .

Auf­gaben

  1. Über­trage die oben ste­hende Gra­fik ins Heft.
  2. Stu­diere die Ani­ma­tion in Leifi-Phy­sik und begründe die For­mel für den Effek­tiv­wert der Wechselspannung.
  3. Bei Wech­sel­span­nun­gen gibt man nor­ma­ler­weise den Effek­tiv­wert der Span­nung an, denn von die­sem hängt die Leis­tungs­ab­gabe der Wech­sel­span­nung ab. Das Gefah­ren­po­ten­tial für uns Men­schen ist aber vom Schei­tel­wert der Wech­sel­span­nung abhän­gig. Bestimme die Schei­tel­span­nung für die Haus­halts­span­nung von 240V.
  4. Nur LK: Zeige mit den Mit­teln der Inte­gral­rech­nung, dass im Zeit­raum einer Peri­ode T die fol­gende Ener­gie an den Wider­stand R über­tra­gen wird,
    Tipp: \int \cos^2(\omega t)dt = \frac{t}{2} + \frac{1}{2\omega} \sin(\omega t)\cos(\omega t) :
E(T)=\int_0^TP(t)dt =\frac{\hat u^2}{2R}\cdot T

Bei­spiel: Wech­sel­span­nung mit ohm­schen Widerstand

Gege­ben ist eine Wech­sel­span­nung u(t)=\hat u \cos(\omega t) mit U_{eff}=10 V und der Fre­quenz f = 50 Hz, die mit einem Wider­stand R=4 \Omega , z.B. einer Glüh­lampe belas­tet wird:

Wech­sel­span­nung u(t) mit Ueff = 10V, Wech­sel­strom i(t) und Leis­tung P(t). Die hell­vio­lette Flä­che ist ein Maß für die elek­tri­sche Ener­gie E, die inner­halb der Peri­ode T = 20 ms auf den ohm­schen Wider­stand R = 4Ω über­tra­gen wird.
  1. Nur LK: Berechne die zeit­ab­hän­gige Strom­stärke i(t) und die Leis­tung P(t). Weise nach, dass im Zeit­raum T einer Peri­ode 0,5 J elek­tri­sche Ener­gie über­tra­gen wird.
    Tipp: Weise durch Ablei­ten nach, dass die Funk­tion \frac{t}{2} + \frac{1}{2\omega} \sin(\omega t)\cos(\omega t) eine Stamm­funk­tion zu \cos^2(\omega t) ist. Nutze aus, das \cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t)=1 ist. 

12 Kommentare

Kommentieren →

Hallo Herr Fuchs,
anbei meine Auf­ga­ben. Lei­der habe ich für das cos^2 inte­gral etwas ande­res her­aus als Sie. Ich denke bei Ihnen fehlt der Fak­tor 1/2.
Schöne Grüße und bis morgen
Clemens

Hallo Herr Fuchs,
ich habe die Auf­ga­ben noch nicht ganz fer­tig aber ich bin mir ziem­lich sicher das die For­mel die Sie uns gege­ben haben für die Inte­gra­tion von cos^2(x) falsch ist. Ich habe als For­mel : t/2 + sin(2tω)/4ω .
Mit freund­li­chen Grüßen
Paul Mathiot

Du hast Recht, ich habe den Fak­tor 1/2 ver­ges­sen. Sonst käme ja auch das 2R im Nen­ner nicht her­aus. Deine Lösung ist auch rich­tig. die Gleich­heit kann man mit den sog. Addi­ti­ons­theo­re­men nachweisen.

Viele Grüße

Schreibe einen Kommentar

The maximum upload file size: 46 MB. You can upload: image, audio, video, document, spreadsheet, interactive, other. Links to YouTube, Facebook, Twitter and other services inserted in the comment text will be automatically embedded. Drop files here