Ener­gie des magne­ti­schen Fel­des mit Anwendungen

Wäh­rend des Ein­schal­tens der Spule steigt die Strom­stärke lang­sam an und nähert sich einem Grenzwert. 

Beim Aus­schal­ten der Spule ent­steht eine hohe Induk­ti­ons­span­nung, die sogar eine Glimm­lampe zum Auf­blit­zen brin­gen kann. Offen­bar ist in dem Magnet­feld der Spule Ener­gie gespeichert.

Die Spei­cher­fä­hig­keit macht die Induk­ti­ons­spule zu einem wich­ti­gen Bau­stein für die Ener­gie­wende, denn ohne sie wäre ein Ein­satz von LEDs als Licht­quelle wirt­schaft­lich nicht möglich.

Ener­gie­er­hal­tung

Wir kön­nen die Ener­gie, die im Magnet­feld gespei­chert ist, nur indi­rekt bestim­men, indem wir berech­nen, wie sich die elek­tri­sche Ener­gie der Strom­quelle ändert. Denn, wenn die Ener­gie im Magnet­feld zunimmt, nimmt ent­spre­chend die Ener­gie der Strom­quelle ab. Daher bekom­men wir bei unse­ren Rech­nun­gen auch immer eine nega­tive Ener­gie­än­de­rung her­aus. Im Fol­gen­den berech­nen wir die Ener­gie­menge an ver­schie­de­nen Bei­spie­len. Dazu ist es nütz­lich, die Grund­la­gen des Ohm­schen Gest­zes, der Ener­gie und der Leis­tung zu rekapitulieren.

Der Wider­stand steht für den Ohm­schen Ver­brau­cher, die Span­nung UR am Wider­stand zeigt in die Gegen­rich­tung der Quel­len­span­nung U0.

Beim Ein­schal­ten der obi­gen Schal­tung fließt sogleich eine Strom­stärke I=U_0/R . Gleich­zei­tig misst man am Wider­stand die Span­nung U_R=-I\cdot R . Somit wird in dem Ver­brau­cher eine elek­tri­sche Leis­tung P=U\cdot I umge­setzt (Begründe die fol­gende Gleichungskette):

P(t)=-I^2\cdot R=-\frac{U_0^2}{R}

Wenn wir nun die elek­tri­sche Ener­gie bestim­men wol­len, müs­sen wir wis­sen, für wel­che Zeit t die Schal­tung ein­ge­schal­tet wurde. Da die elek­tri­sche Leis­tung P(t) = \dot E(t) die Ände­rungs­rate der Ener­gie ist, müs­sen wir zur Inte­gral­rech­nung grei­fen (nur in die­sem ein­fa­chen Fall geht es auch anders):

E(t)=\int_0^tP(t)\ dt\\[5pt]
=\int_0^t-\frac{U_0^2}{R}\ dt\\[5pt]
=\left[-\frac{U_0^2}{R}\cdot t \right]_0^t \Rightarrow\\[5pt]
E(t)=-\frac{U_0^2}{R}\cdot t=-I^2\cdot R\cdot t.

Eine LED soll über einem Wider­stand an die Haus­halts­span­nung von U0 = 240V ange­schlos­sen wer­den. Im Betrieb fällt an der LED immer eine Span­nung von 3V ab. Der Wider­stand muss so gewählt wer­den, dass die Strom­stärke in der LED nicht über 30 mA ansteigt.

Die Strom­stärke I(t) = 0,03 A darf nicht über­schrit­ten wer­den, sonst wird die LED zer­stört. Die LED regelt ihre Betriebs­span­nung ULED = ‑3V hin­ge­gen selbst. Beachte: Die Pfeil­rich­tung der LED ori­en­tiert sich an der tech­ni­schen Stromrichtung.

Auf­ga­ben

  1. Über­trage die Abbil­dung ins Heft.
  2. Berechne den benö­tig­ten Wider­stands­wert R. Hin­weis: Wider­stände gibt es u.A. in den Wer­ten 5,6kΩ, 6,8kΩ, 8,2kΩ, 10kΩ. Ent­scheide dich für einen ange­mes­se­nen Wert. 
  3. Berechne die Leis­tung, die in der LED frei­ge­setzt wird und in dem Widerstand. 
  4. Berechne den Wir­kungs­grad \eta=\frac{P_{LED}}{P_{ges}} die­ser Beleuchtungsanlage.
  5. Berechne die Ener­gie­menge, die im Wider­stand und in der LED nach einer Stunde frei­ge­setzt werden.
  1. Nach der Maschen­re­gel gilt U_0+U_R+U_{LED} = 0 . Wir stel­len nach U_R = -U_0+U_{LED} um und nut­zen das Ohm­sche Gesetz U_R=-I\cdot R . \Rightarrow R=\frac{-U_0+U_{LED}}{-I} . Mit U_0 = 240V, U_{LED}=3V, I=0{,}03A folgt:
    R= 7900 \Omega. Wir wäh­len R = 8200 \Omega aus den ver­füg­ba­ren Wer­ten aus, damit die Strom­stärke nicht zu groß wer­den kann.
  2. Mit R = 8200 \Omega kön­nen wir die genaue Strom­stärke berech­nen: I=\frac{U_R}{R}=\frac{237V}{8200\Omega}=0{,}029A . Damit ergibt sich eine Leis­tung in der LED von P_{LED}=3V\cdot 0{,}029A=0{,}087W , und in dem Wider­stand von 237V\cdot 0{,}029A=6{,}87W .
  3. Die Gesamt­leis­tung der Span­nungquelle beläuft sich auf P_{ges}=240V\cdot 0{,}029A=6{,}96W .
    Der Wir­kungs­grad beträgt somit \frac{0{,}087W}{6{,}96W}=0{,}013 , das ist nur knapp über 1%. Mit ande­ren Wor­ten, es wer­den knapp 99% der Ener­gie in Wärme umgewandelt.
  4. Mul­ti­pli­ziere ein­fach die in 3. berech­nete Leis­tung mit 3600 Sekun­den und erhalte das Ergeb­nis in Joule.

Die ideale Spule ist nur eine Modell­vor­stel­lung. Es wird ange­nom­men, dass es kei­nen inne­rern Wider­stand in der Spule gibt. Tat­säch­lich kann man die­sen Zustand durch Supra­lei­tung bei sehr tie­fen Tem­pe­ra­tu­ren errei­chen. Im Nor­mal­fall gibt es aber immer einen gewis­sen Wider­stand. Die­ser kann aller­dings ver­nach­läs­sigt wer­den, wenn die Span­nung, die an dem inne­ren Wider­stand abfällt gering gegen­über der Induk­ti­ons­span­nung ist. Dies gilt ins­be­son­dere kurz nach dem Ein­schal­ten der Spule, denn in die­sem Moment ist die Strom­stärke noch gering.

Eine ideale Spule ohne inne­ren Wider­stand wird an eine Quel­len­span­nung U0 = 10V angeschlossen.

Auf­ga­ben

  1. Über­nimm auch diese Abbil­dung ins Heft. Ebenso den unten­ste­hen­den Merksatz.
  2. Wende das Induk­ti­ons­ge­setz und die Maschen­re­gel auf den obi­gen Strom­kreis an. Beachte die Vorzeichen.
  3. Begründe mit bekann­ten Gesetz­mä­ßig­kei­ten, dass fol­gende Dyna­mik entsteht:
U_{Ind}=-U_0,\\[5pt]
\dot I(t)=\frac{U_0}{L},\\[5pt]
I(t)=\frac{U_0}{L}\cdot t.

Es zeigt sich, dass die Strom­stärke der idea­len Spule linear mit der Zeit zunimmt. Das ist aller­dings nur für eine begrenzte Zeit mög­lich, denn die meis­ten Strom­quel­len kön­nen nur eine begrenzte Strom­stärke liefern.

Die Ent­wick­lung der Strom­stärke I(t), der Leis­tung P(t) und der Ener­gie E(t) beim Ein­schal­ten der idea­len Spule mit L = 10 H und U0 = 10V. Die gespei­cherte Ener­gie ent­wi­ckelt sich qua­dra­tisch mit der Zeit.

Die Ener­gie, die die ideale Spule auf­nimmt, lässt sich in die­sem Fall nur mit Hilfe der Inte­gral­rech­nung bestim­men, denn die Strom­stärke I(t) ist nicht konstant.

Es ist aller­dings prak­tisch, die Ener­gie, die im Magnet­feld der Spule gespei­chert ist, nicht als Funk­tion der Zeit zu ken­nen, son­dern abhän­gig von der aktu­el­len Strom­stärke, die durch die Spule fließt. Wie­der gilt:

P(t)=U_{Ind}(t)\cdot I(t)\\[5pt]
P(t)=-L\cdot \dot{I}(t)\cdot I(t)\Rightarrow\\[5pt]
E(t)=\int_0^t -L\cdot \dot{I}(t)\cdot I(t)\ dt

Wir müs­sen eine Stamm­funk­tion suchen, deren Ablei­tung \dot E(t)=P(t)=-L\cdot \dot I(t)\cdot I(t) ist. Durch Ablei­ten mit der Ket­ten­re­gel bestä­tigt man, dass die Funk­tion -\frac{1}{2}\cdot L\cdot I^2(t) eine die­ser Funk­tio­nen ist. 

Der Ener­gie­zu­wachs der Spule ist folg­lich genau die­ser Wert ohne das Minuszeichen: 

Anwen­dungs­bei­spiel: LED mit Spule

Der extrem schlechte Wir­kungs­grad einer LED mit Vor­wi­der­stand lässt sich ver­bes­sern, wenn statt des Vowi­der­stan­des eine (ideale) Spule und eine Steu­er­elek­tro­nik ein­ge­setzt wird:

Die Steu­er­elek­tro­nik schal­tet die Quel­len­span­nung in einem genau defi­nier­ten Takt ein und aus. Der Schal­ter wird in der Rea­li­tät durch einen Schalt­tran­sis­tor ersetzt, der auch extrem kurze Schalt­zei­ten ermöglicht.

Auf­ga­ben

  1. Zeichne die Abbil­dung ins Heft.
  2. Begründe mit der Maschen­re­gel, in wel­che Rich­tung die Induk­ti­ons­span­nung beim Ein­schal­ten aus­ge­rich­tet ist. Zeichne einen ent­spre­chen­den Pfeil. Zeichne auch die tech­ni­sche Strom­rich­tung (+ -> -) ein. Begründe, ob die LED beim Ein­schal­ten leuch­tet oder nicht. 
  3. Berechne, wie lange der Ein­schalt­vor­gang dau­ern muss, bis die benö­tigte Strom­stärke von 30 mA erreicht wird [Kon­trolle: t = 1,25 µs].
  4. Wie ver­hält sich die Induk­ti­ons­span­nung beim Aus­schal­ten? Zeichne Pfeile am bes­ten in einer ande­ren Farbe. Zeichne eben­falls die tech­ni­sche Strom­rich­tung durch die LED ein. Sie sollte nun leuchten.
  5. Der Schal­ter bleibt für die glei­che Zeit t = 1,25 µs geöff­net. Berechne, wie sich die Strom­stärke in der LED in die­ser Zeit ver­än­dert. Beachte, dass die LED die Induk­ti­ons­span­nung auf 3V stabilisiert.
  6. Trage den zeit­li­chen Ver­lauf der Strom­stärke gra­phisch auf: t‑Achse: 0 bis 2,5 µs; I‑Achse: 35 mA. Zeichne zunächst einen Ein- und Aus­schalt­zy­klus ein.
  7. Der nächste Schalt­zy­klus muss ein ande­res Timing auf­wei­sen. Erläu­tere, warum der nächste Ein­schalt­zy­klus nicht erneut 1,25 µs dau­ern darf. 
  8. Für Exper­ten: Bestimme die Ein- und Auschalt­zei­ten so, dass in einem Zyklus von 2,5 µs die Strom­stärke von 30 mA nicht über­schrit­ten wird.
    [Kon­trolle: t_{ein} \approx 0{,}03\mu s; t_{aus}\approx 2{,}47\mu s ]

In der tech­ni­schen Anwen­dung ist die Steue­rung noch etwas kom­pli­zier­ter, denn das Sys­tem muss auch auf Schwan­kun­gen der Quel­len­span­nung ein­ge­hen kön­nen. Tat­säch­lich wird die Strom­stärke durch die LED stän­dig gemes­sen und ein elek­tro­ni­scher Regel­kreis ver­än­dert das Timing des Ein- Auschalt­zy­klus so, dass diese immer kon­stant bleibt.

2) Wie bei den bis­he­ri­gen Ein­schalt­vor­gän­gen zeigt die Induk­ti­ons­span­nung in die ent­ge­gen­ge­setzte Rich­tung wie die Quel­len­span­nung, es gilt U_{Ind}=-U_0 . Die tech­ni­sche Strom­rich­tung ver­läuft vom + Pol der Quel­len­span­nung zum – Pol. Daher ist diese Strom­rich­tung der Durch­lass­rich­tung der LED ent­ge­gen­ge­setzt. Infolge des­sen fließt kein Strom durch die LED, sie leuch­tet nicht.

3) Berech­nung der Zeit, bis I(t) = 0,03 A erreicht sind:

I(t)=\frac{U_0}{L}\cdot t\Rightarrow\\[5pt]
t =\frac{L\cdot I(t)}{U_0}=\frac{0{,}01H\cdot 0{,}03A}{240V}\Rightarrow\\[5pt]
t=1{,}25\cdot 10^{-6}s=1{,}25\mu s.

4) Zeich­nung

Beim Ein­schal­ten sperrt die LED, es fließt kein Strom durch sie hin­durch. Beim Aus­schal­ten kehrt sich das Vor­zei­chen der Induk­ti­ons­span­nung um. Der Strom fließt in die glei­che Rich­tung wie vor­her, aber durch die Masche der LED. Sie beginnt zu Leuch­ten und sta­bi­li­siert die Span­nung auf ca. 3V.

5) Beim Ein­schal­ten war UInd = ‑U0 < 0. Wäh­rend des Aus­schal­tens ändert sich das Vor­zei­chen und die LED sta­bi­li­siert die Span­nung auf ca. 3V:

U_{Ind}=-L\cdot \dot I(t) =U_{LED}>0 \Rightarrow \\[5pt]
\dot I(t)=-\frac{U_{LED}}{L}<0.

Das bedeu­tet, die Strom­stärke nimmt linear ab. Zur Berech­nung müs­sen wir wie­der Integrieren. 

I(t)=\int -\frac{U_{LED}}{L}dt = -\frac{U_{LED}}{L}\cdot t +c

Die Inte­gra­ti­ons­kon­stante ist die Anfangs­strom­stärke 30 mA.Somit ist:

I(t)=0{,}03A -\frac{U_{LED}}{L}\cdot t\\[5pt]
I(1{,}125\mu s)=0{,}03A- \frac{3V}{0{,}01H}\cdot 1{,}25\cdot 10^{-6}s\\[5pt]
I(1{,}125\mu s)=29{,}6 mA.

6) Graphik

Gestri­chelt: Ein­schalt- und Aus­schalt­phase sind gleich­lang. Die Strom­stärke nimmt beim Aus­schal­ten nur mini­mal ab und über­schrei­tet bei nächs­ten Zyklus die maxi­male Strom­stärke.
Durch­ge­zo­gen: Die Ein­schalt­phase ist deut­lich kür­zer als die Aus­schalt­phase. Dadurch geht die Strom­stärke genau auf den Anfangs­wert zurück.

7) Dis­kus­sion

Bei gleich­lan­gen Ein- und Aus­schalt­pha­sen geht die Strom­stärke nur gering­fü­gig zurück. In der nächs­ten Ein­schalt­phase würde die Strom­stärke aber erneut um ca. 30 mA anstei­gen. Die maxi­male Strom­stärke würde in kür­zes­ter Zeit über­schrit­ten und die LED würde zer­stört werden.

Lösung: Die Ein­schalt­phase muss deut­lich kür­zer bei ca. 0,03 µs lie­gen als die Aus­schalt­phase mit ca. 2,47 µs. Dadurch schwankt die Strom­stärke immer zwi­schen ca. 29,25 mA und 30 mA.

Tech­ni­sche Lösung: Eine elek­tro­ni­sche Schal­tung sorgt dafür, dass beim ers­ten Ein­schal­ten die Ein­schalt­zeit lang­sam erhöht wird, bis sich das Sys­tem auf die ideale Strom­stärke ein­ge­pen­delt hat. Auch bei Stö­run­gen, z.B. schwan­ken­der Netz­span­nung regelt diese Schal­tung immer die ideale Strom­stärke nach.

Bewerte die­sen Beitrag 

Durch­schnitt­lich / 5. Anzahl der Bewer­tun­gen

Schreibe einen Kommentar

The maximum upload file size: 46 MB. You can upload: image, audio, video, document, spreadsheet, interactive, other. Links to YouTube, Facebook, Twitter and other services inserted in the comment text will be automatically embedded.