Während des Einschaltens der Spule steigt die Stromstärke langsam an und nähert sich einem Grenzwert.
Beim Ausschalten der Spule entsteht eine hohe Induktionsspannung, die sogar eine Glimmlampe zum Aufblitzen bringen kann. Offenbar ist in dem Magnetfeld der Spule Energie gespeichert.
Die Speicherfähigkeit macht die Induktionsspule zu einem wichtigen Baustein für die Energiewende, denn ohne sie wäre ein Einsatz von LEDs als Lichtquelle wirtschaftlich nicht möglich.
Energieerhaltung
Wir können die Energie, die im Magnetfeld gespeichert ist, nur indirekt bestimmen, indem wir berechnen, wie sich die elektrische Energie der Stromquelle ändert. Denn, wenn die Energie im Magnetfeld zunimmt, nimmt entsprechend die Energie der Stromquelle ab. Daher bekommen wir bei unseren Rechnungen auch immer eine negative Energieänderung heraus. Im Folgenden berechnen wir die Energiemenge an verschiedenen Beispielen. Dazu ist es nützlich, die Grundlagen des Ohmschen Gestzes, der Energie und der Leistung zu rekapitulieren.
Beim Einschalten der obigen Schaltung fließt sogleich eine Stromstärke I=U_0/R . Gleichzeitig misst man am Widerstand die Spannung U_R=-I\cdot R . Somit wird in dem Verbraucher eine elektrische Leistung P=U\cdot I umgesetzt (Begründe die folgende Gleichungskette):
P(t)=-I^2\cdot R=-\frac{U_0^2}{R}Wenn wir nun die elektrische Energie bestimmen wollen, müssen wir wissen, für welche Zeit t die Schaltung eingeschaltet wurde. Da die elektrische Leistung P(t) = \dot E(t) die Änderungsrate der Energie ist, müssen wir zur Integralrechnung greifen (nur in diesem einfachen Fall geht es auch anders):
E(t)=\int_0^tP(t)\ dt\\[5pt]
=\int_0^t-\frac{U_0^2}{R}\ dt\\[5pt]
=\left[-\frac{U_0^2}{R}\cdot t \right]_0^t \Rightarrow\\[5pt]
E(t)=-\frac{U_0^2}{R}\cdot t=-I^2\cdot R\cdot t.Eine LED soll über einem Widerstand an die Haushaltsspannung von U0 = 240V angeschlossen werden. Im Betrieb fällt an der LED immer eine Spannung von 3V ab. Der Widerstand muss so gewählt werden, dass die Stromstärke in der LED nicht über 30 mA ansteigt.
Aufgaben
- Übertrage die Abbildung ins Heft.
- Berechne den benötigten Widerstandswert R. Hinweis: Widerstände gibt es u.A. in den Werten 5,6kΩ, 6,8kΩ, 8,2kΩ, 10kΩ. Entscheide dich für einen angemessenen Wert.
- Berechne die Leistung, die in der LED freigesetzt wird und in dem Widerstand.
- Berechne den Wirkungsgrad \eta=\frac{P_{LED}}{P_{ges}} dieser Beleuchtungsanlage.
- Berechne die Energiemenge, die im Widerstand und in der LED nach einer Stunde freigesetzt werden.
Die ideale Spule ist nur eine Modellvorstellung. Es wird angenommen, dass es keinen innerern Widerstand in der Spule gibt. Tatsächlich kann man diesen Zustand durch Supraleitung bei sehr tiefen Temperaturen erreichen. Im Normalfall gibt es aber immer einen gewissen Widerstand. Dieser kann allerdings vernachlässigt werden, wenn die Spannung, die an dem inneren Widerstand abfällt gering gegenüber der Induktionsspannung ist. Dies gilt insbesondere kurz nach dem Einschalten der Spule, denn in diesem Moment ist die Stromstärke noch gering.
Aufgaben
- Übernimm auch diese Abbildung ins Heft. Ebenso den untenstehenden Merksatz.
- Wende das Induktionsgesetz und die Maschenregel auf den obigen Stromkreis an. Beachte die Vorzeichen.
- Begründe mit bekannten Gesetzmäßigkeiten, dass folgende Dynamik entsteht:
U_{Ind}=-U_0,\\[5pt]
\dot I(t)=\frac{U_0}{L},\\[5pt]
I(t)=\frac{U_0}{L}\cdot t.Es zeigt sich, dass die Stromstärke der idealen Spule linear mit der Zeit zunimmt. Das ist allerdings nur für eine begrenzte Zeit möglich, denn die meisten Stromquellen können nur eine begrenzte Stromstärke liefern.
Die Energie, die die ideale Spule aufnimmt, lässt sich in diesem Fall nur mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen, denn die Stromstärke I(t) ist nicht konstant.
Es ist allerdings praktisch, die Energie, die im Magnetfeld der Spule gespeichert ist, nicht als Funktion der Zeit zu kennen, sondern abhängig von der aktuellen Stromstärke, die durch die Spule fließt. Wieder gilt:
P(t)=U_{Ind}(t)\cdot I(t)\\[5pt]
P(t)=-L\cdot \dot{I}(t)\cdot I(t)\Rightarrow\\[5pt]
E(t)=\int_0^t -L\cdot \dot{I}(t)\cdot I(t)\ dtWir müssen eine Stammfunktion suchen, deren Ableitung \dot E(t)=P(t)=-L\cdot \dot I(t)\cdot I(t) ist. Durch Ableiten mit der Kettenregel bestätigt man, dass die Funktion -\frac{1}{2}\cdot L\cdot I^2(t) eine dieser Funktionen ist.
Der Energiezuwachs der Spule ist folglich genau dieser Wert ohne das Minuszeichen:
Anwendungsbeispiel: LED mit Spule
Der extrem schlechte Wirkungsgrad einer LED mit Vorwiderstand lässt sich verbessern, wenn statt des Vowiderstandes eine (ideale) Spule und eine Steuerelektronik eingesetzt wird:
Aufgaben
- Zeichne die Abbildung ins Heft.
- Begründe mit der Maschenregel, in welche Richtung die Induktionsspannung beim Einschalten ausgerichtet ist. Zeichne einen entsprechenden Pfeil. Zeichne auch die technische Stromrichtung (+ -> -) ein. Begründe, ob die LED beim Einschalten leuchtet oder nicht.
- Berechne, wie lange der Einschaltvorgang dauern muss, bis die benötigte Stromstärke von 30 mA erreicht wird [Kontrolle: t = 1,25 µs].
- Wie verhält sich die Induktionsspannung beim Ausschalten? Zeichne Pfeile am besten in einer anderen Farbe. Zeichne ebenfalls die technische Stromrichtung durch die LED ein. Sie sollte nun leuchten.
- Der Schalter bleibt für die gleiche Zeit t = 1,25 µs geöffnet. Berechne, wie sich die Stromstärke in der LED in dieser Zeit verändert. Beachte, dass die LED die Induktionsspannung auf 3V stabilisiert.
- Trage den zeitlichen Verlauf der Stromstärke graphisch auf: t‑Achse: 0 bis 2,5 µs; I‑Achse: 35 mA. Zeichne zunächst einen Ein- und Ausschaltzyklus ein.
- Der nächste Schaltzyklus muss ein anderes Timing aufweisen. Erläutere, warum der nächste Einschaltzyklus nicht erneut 1,25 µs dauern darf.
- Für Experten: Bestimme die Ein- und Auschaltzeiten so, dass in einem Zyklus von 2,5 µs die Stromstärke von 30 mA nicht überschritten wird.
[Kontrolle: t_{ein} \approx 0{,}03\mu s; t_{aus}\approx 2{,}47\mu s ]
In der technischen Anwendung ist die Steuerung noch etwas komplizierter, denn das System muss auch auf Schwankungen der Quellenspannung eingehen können. Tatsächlich wird die Stromstärke durch die LED ständig gemessen und ein elektronischer Regelkreis verändert das Timing des Ein- Auschaltzyklus so, dass diese immer konstant bleibt.
2) Wie bei den bisherigen Einschaltvorgängen zeigt die Induktionsspannung in die entgegengesetzte Richtung wie die Quellenspannung, es gilt U_{Ind}=-U_0 . Die technische Stromrichtung verläuft vom + Pol der Quellenspannung zum – Pol. Daher ist diese Stromrichtung der Durchlassrichtung der LED entgegengesetzt. Infolge dessen fließt kein Strom durch die LED, sie leuchtet nicht.
3) Berechnung der Zeit, bis I(t) = 0,03 A erreicht sind:
I(t)=\frac{U_0}{L}\cdot t\Rightarrow\\[5pt]
t =\frac{L\cdot I(t)}{U_0}=\frac{0{,}01H\cdot 0{,}03A}{240V}\Rightarrow\\[5pt]
t=1{,}25\cdot 10^{-6}s=1{,}25\mu s.4) Zeichnung
5) Beim Einschalten war UInd = ‑U0 < 0. Während des Ausschaltens ändert sich das Vorzeichen und die LED stabilisiert die Spannung auf ca. 3V:
U_{Ind}=-L\cdot \dot I(t) =U_{LED}>0 \Rightarrow \\[5pt]
\dot I(t)=-\frac{U_{LED}}{L}<0.Das bedeutet, die Stromstärke nimmt linear ab. Zur Berechnung müssen wir wieder Integrieren.
I(t)=\int -\frac{U_{LED}}{L}dt = -\frac{U_{LED}}{L}\cdot t +cDie Integrationskonstante ist die Anfangsstromstärke 30 mA.Somit ist:
I(t)=0{,}03A -\frac{U_{LED}}{L}\cdot t\\[5pt]
I(1{,}125\mu s)=0{,}03A- \frac{3V}{0{,}01H}\cdot 1{,}25\cdot 10^{-6}s\\[5pt]
I(1{,}125\mu s)=29{,}6 mA.6) Graphik
Durchgezogen: Die Einschaltphase ist deutlich kürzer als die Ausschaltphase. Dadurch geht die Stromstärke genau auf den Anfangswert zurück.
7) Diskussion
Bei gleichlangen Ein- und Ausschaltphasen geht die Stromstärke nur geringfügig zurück. In der nächsten Einschaltphase würde die Stromstärke aber erneut um ca. 30 mA ansteigen. Die maximale Stromstärke würde in kürzester Zeit überschritten und die LED würde zerstört werden.
Lösung: Die Einschaltphase muss deutlich kürzer bei ca. 0,03 µs liegen als die Ausschaltphase mit ca. 2,47 µs. Dadurch schwankt die Stromstärke immer zwischen ca. 29,25 mA und 30 mA.
Technische Lösung: Eine elektronische Schaltung sorgt dafür, dass beim ersten Einschalten die Einschaltzeit langsam erhöht wird, bis sich das System auf die ideale Stromstärke eingependelt hat. Auch bei Störungen, z.B. schwankender Netzspannung regelt diese Schaltung immer die ideale Stromstärke nach.
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