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Elek­tro­nen­beu­gung am Graphitgitter

Im Vakuum wer­den Elek­tro­nen beschleu­nigt. Nach Durch­lau­fen einer dün­nen poly­kris­tal­li­nen Gra­phit­schicht, ent­ste­hen cha­rak­te­ris­ti­sche Ring­muster auf dem Schirm.

Hypo­these: Es könnte sich um eine Inter­fe­renz­fi­gur handeln
Dank an Tom für die gelun­gene Photographie

Wenn die Hypo­these zutrifft, müsste es zu den zwei Netz­ebe­nen­ab­stän­den d1 = 213 pm und d2 = 123 pm des Gra­phits und den Ablen­kungs­win­keln 2·θ pas­sende Bragg-Wel­len­län­gen geben.

Zur Aus­wer­tung müs­sen die Radien r der Ringe in Abhän­gig­keit von der Beschleu­ni­gungs­span­nung UB gemes­sen wer­den. Aus dem Abstand L der Gra­phit­fo­lie vom Schirm lässt sich damit der Win­kel θ bestim­men. Aus den Netz­ebe­nen­ab­stän­den d1 und d2 sowie dem Win­kel θ lässt sich nach Bragg die zuge­hö­rige Wel­len­länge bestimmen. 

Ste­fan Richt­berg (based on work of Qnie­miec at Ger­man Wiki­pe­dia), Bragg-Debye-Scher­rerCC BY-SA 3.0

Auf­ga­ben

  • Mache dich mit dem Ver­suchs­auf­bau, der Durch­füh­rung und der Aus­wer­tung des Ver­su­ches mit Hilfe der schö­nen Ani­ma­tion der Uni Mün­chen ver­traut. Beachte beson­ders die Erläu­te­rung zur Bragg-Bedin­gung und zum poly­kris­tal­li­nen Graphit.
  • Miss bei ver­schie­de­nen Beschleu­ni­gungs­span­nun­gen die Radien der Kreise aus und berechne die Ablenk­win­kel mit der Nähe­rung \sin(2\theta)=\frac{r}{L} .
  • Berechne die zuge­hö­ri­gen Wel­len­län­gen mit der Bragg-Bedin­gung.
  • Leite aus dem Ener­gie­er­hal­tungs­satz und der Defi­ni­tion des Impul­ses her, dass für den Impuls gilt: p=\sqrt {2\cdot m_e\cdot e\cdot U_B} .
  • Berechne die de-Bro­glie-Wel­len­län­gen \lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{ \sqrt {2\cdot m_e\cdot e\cdot U_B} } der Elek­tro­nen bei den ver­schie­de­nen Beschleu­ni­gungs-Span­nun­gen und ver­glei­che mit den Ergeb­nis­sen aus der Bragg-Bedingung.
Mess­werte und Berech­nung der Wel­len­län­gen aus der Bragg-Bedin­gung. Es ist schön zu erken­nen, dass bei fes­ter Span­nung U_B die Radien der Beu­gungs­ringe mit annä­hernd der sel­ben Wel­len­länge \lambda erklärt wer­den kön­nen. Die­ses Ergeb­nis erhär­tet die Hypo­these, dass es sich um ein Wel­len­phä­no­men han­deln könnte.
Die Mate­rie­wel­len \lambda=\frac{h}{p} nach de Bro­glie wei­chen etwas nach unten von den Wel­len­län­gen aus der Bragg-Bedin­gung ab. Bedenkt man aller­dings, dass die Natur die­ser bei­den Wel­len­mo­delle völ­lig ver­schie­den ist, kann man eine gute Über­ein­stim­mung feststellen. 

Wir nut­zen den Ener­gie­er­hal­tungs­satz und set­zen die elek­tri­sche Ener­gie gleich der kine­ti­schen Energie:

W_{el}=E_{kin} \\
e\cdot U_B=\frac{1}{2}\ m_e\cdot v^2 \Rightarrow\\[5pt]
v=\sqrt {\frac{2\cdot e\cdot U_B }{m_e}}.

m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}kg ist die Elek­tro­nen­masse. Wir set­zen die Geschwin­dig­keit in die Defi­ni­tion des Impul­ses ein:

p=m_e \cdot v = m_e\cdot \sqrt {\frac{2\cdot e\cdot U_B }{m_e}} \\[5pt]
p=\sqrt {m_e^{\cancel 2}\cdot \frac{2\cdot e\cdot U_B }{\cancel {m_e}}} \\[5pt]
p=\sqrt {m_e\cdot 2\cdot e\cdot U_B }\ .

Nach Ein­stein ist der Impuls eines Pho­tons wie folgt definiert:

E=m\cdot c^2 =\red{m\cdot c}\cdot c=\red{p}\cdot c.\\
E=h\cdot f\Rightarrow\\
h\cdot f=p\cdot c\Rightarrow\\
p=h\cdot \frac{f}{c}=\frac{h}{\lambda}\Rightarrow\\
\lambda=\frac{h}{p}.

De Bro­glie hat die Hypo­these auf­ge­stellt, dass auch Teil­chen eine Wel­len­länge zuge­ord­net wer­den kann, die genau wie bei Pho­to­nen mit dem Impuls ver­knüpft ist. 

Um diese Hypo­these zu prü­fen, berech­nen wir die de Bro­glie-Wel­len­länge mit dem Impuls der Elektronen:

\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt {m_e\cdot 2\cdot e\cdot U_B }}\ .

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