Elek­tro­nen­beu­gung am Graphitgitter

Im Vakuum wer­den Elek­tro­nen beschleu­nigt. Nach Durch­lau­fen einer dün­nen poly­kris­tal­li­nen Gra­phit­schicht, ent­ste­hen cha­rak­te­ris­ti­sche Ring­muster auf dem Schirm. Hypo­these: Es könnte sich um eine Inter­fe­renz­er­schei­nung han­deln.

Wenn die Hypo­these zutrifft, müsste es zu den zwei Netz­ebe­nen­ab­stän­den d₁ = 213 pm und d₂ = 123 pm des Gra­phits und den Ablen­kungs­win­keln 2·θ pas­sende Bragg-Wel­len­län­gen geben.

Zur Aus­wer­tung müs­sen die Radien r der Ringe in Abhän­gig­keit von der Beschleu­ni­gungs­span­nung U_B gemes­sen wer­den. Aus dem Abstand L der Gra­phit­fo­lie vom Schirm lässt sich damit der Win­kel θ bestim­men. Aus den Netz­ebe­nen­ab­stän­den d₁ und d₂ sowie dem Win­kel θ lässt sich nach Bragg die zuge­hö­rige Wel­len­länge bestimmen. 

Auf­ga­ben

• Mache dich mit dem Ver­suchs­auf­bau, der Durch­füh­rung und der Aus­wer­tung des Ver­su­ches mit Hilfe der schö­nen Ani­ma­tion der Uni Mün­chen ver­traut. Beachte beson­ders die Erläu­te­rung zur Bragg-Bedin­gung und zum poly­kris­tal­li­nen Graphit.
• Miss bei ver­schie­de­nen Beschleu­ni­gungs­span­nun­gen die Radien der Kreise aus und berechne die Ablenk­win­kel mit der Nähe­rung \sin(2\theta)=\frac{r}{L} .
• Berechne die zuge­hö­ri­gen Wel­len­län­gen mit der Bragg-Bedin­gung.
• Leite aus dem Ener­gie­er­hal­tungs­satz und der Defi­ni­tion des Impul­ses her, dass für den Impuls gilt: p=\sqrt {2\cdot m_e\cdot e\cdot U_B} .
• Berechne die de-Bro­g­lie-Wel­len­län­gen \lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{ \sqrt {2\cdot m_e\cdot e\cdot U_B} } der Elek­tro­nen bei den ver­schie­de­nen Beschleu­ni­gungs-Span­nun­gen und ver­glei­che mit den Ergeb­nis­sen aus der Bragg-Bedingung.

W_{el}=E_{kin} \\
e\cdot U_B=\frac{1}{2}\ m_e\cdot v^2 \Rightarrow\\[5pt]
v=\sqrt {\frac{2\cdot e\cdot U_B }{m_e}}.

p=m_e \cdot v = m_e\cdot \sqrt {\frac{2\cdot e\cdot U_B }{m_e}} \\[5pt]
p=\sqrt {m_e^{\cancel 2}\cdot \frac{2\cdot e\cdot U_B }{\cancel {m_e}}} \\[5pt]
p=\sqrt {m_e\cdot 2\cdot e\cdot U_B }\ .

E=m\cdot c^2 =\red{m\cdot c}\cdot c=\red{p}\cdot c.\\
E=h\cdot f\Rightarrow\\
h\cdot f=p\cdot c\Rightarrow\\
p=h\cdot \frac{f}{c}=\frac{h}{\lambda}\Rightarrow\\
\lambda=\frac{h}{p}.

\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt {m_e\cdot 2\cdot e\cdot U_B }}\ .