Elek­tro­nen im Ablenkkondensator

  • In der Elek­tro­nen­ka­none wer­den Elek­tro­nen mit der Beschleu­ni­gungs­span­nung U_b = 5000 V beschleunigt.
  • Der Ablenk­kon­den­sa­tor hat eine Länge l = 9 cm und der Plat­ten­ab­stand beträgt d = 6 cm.
  • Die Ablenk­span­nung U_a ist varia­bel und beträgt zu Beginn des Ver­suchs 1000V.

Auf­ga­ben

Falls noch nicht gesche­hen, mache dich mit der Elek­tro­nen­ka­none ver­traut und beschreibe ihre Funk­ti­ons­weise mit Hilfe einer Skizze.

Beschäf­tige dich in der fol­gen­den Ani­ma­tion aus­führ­lich mit dem Versuch. 

Bear­beite dann die Auf­ga­ben im Heft:

  1. Beschreibe den Ver­such mit einer Skizze im Heft.
  2. Berechne die Geschwin­dig­keit v_0, mit der die Elek­tro­nen aus der Elek­tro­nen­ka­none austreten.
  3. Beschreibe (ohne zu rech­nen), wel­che Kräfte im Ablenk­kon­den­sa­tor auf ein Elek­tron ein­wir­ken. Was für eine Bahn beschreibt das Elektron?
  4. Bestimme die Zeit, die ein Elek­tron benö­tigt, um den Ablenk­kondensator zu pas­sie­ren. Um wel­che Stre­cke wird es dabei abgelenkt?
  5. Bestimme die Bahn­kurve y = f(x) , die das Elek­tron in dem Ablenk­kon­den­sa­tor beschreibt. 
  6. Zeige, dass die Form der Bahn­kurve nicht von der Span­nung abhängt, wenn die Ablenk­span­nung gleich der Beschleu­ni­gungs­span­nung gewählt wird.

Die elek­tri­sche Ener­gie W_{el}=e\cdot U_b wird voll­stän­dig in kine­ti­sche Ener­gie E_{kin}=\frac12m_ev_0^2 umge­setzt. Dabei ist e die Ele­men­tar­la­dung, m_e die Elek­tro­nen­masse, v_0 die Geschwin­dig­keit des Elek­trons und U_b die Beschleu­ni­gungs­span­nung. Wir machen einen Ansatz mit dem Ener­gie­er­hal­tungs­satz:

W_{el}=E_{kin}\\
e\cdot U_b=\frac12m_ev_0^2 \Rightarrow\\[3px]
v_0=\sqrt{\frac{2e\cdot U_b}{m_e}}\Rightarrow \\[3px]
v_0=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}C\cdot 5000V}{9{,}109·10^{-31}kg}}=41.936.860 \frac ms.

Ant­wort: Die Elek­tro­nen­ge­schwin­dig­keit beträgt ca. 42 Mio. m/s. Das sind immer­hin 14% der Licht­ge­schwin­dig­keit c = 299.792.458 m/s.

Die Gra­vi­ta­ti­ons­wech­sel­wir­kung auf das Elek­tron kann voll­stän­dig ver­nach­läs­sigt wer­den, es wir­ken rein elek­tri­sche Kräfte. 

Im homo­ge­nen Feld des Ablenk­kon­den­sa­tors wirkt an jeder Stelle die kon­stante elek­tri­sche Feld­kraft F_{el} auf das Elek­tron in ver­ti­ka­ler y‑Richtung ein. In hori­zon­ta­ler x‑Richtung wirkt über­haupt keine Kraft auf das Elek­tron ein. 

Diese Situa­tion ist ver­gleich­bar mit dem hori­zon­ta­len Wurf. Dort wirkt stets die kon­stante Gewichts­kraft in ver­ti­ka­ler Rich­tung auf den Kör­per ein.

Zunächst berech­nen wir aus der Elek­tro­nen­ge­schwin­dig­keit v_0 die Zeit, die benö­tigt wird, damit das Elek­tron die Länge l = 9 cm durch­flie­gen kann:

t=\frac{l}{v_0}=\frac{0{,}09m}{41.936.860 \frac ms}=2{,}15\cdot10^{-9}s.

Das sind 2,15 ns (Nano­se­kun­den).

Um die Stre­cke zu berech­nen, um die das Elek­tron abge­lenkt wird, müs­sen wir zunächst die Beschleu­ni­gung des Elek­trons aus dem 2. New­ton­schen Axiom F=m\cdot a bestim­men. Die Kraft ist dabei die elek­tri­sche Feld­kraft F_{el}=E\cdot e=\frac{U_a}d \cdot e. Hier­bei steht d = 6cm für den Abstand der Kon­den­sa­tor­plat­ten und U_a für die Ablenkspannung. 

F_{el}=m_e\cdot a \Rightarrow\\
a=\frac {F_{el}}{m_e}=\frac{\frac{U_a}{d}\cdot e}{m_e}=\frac{{U_a}\cdot e}{d\cdot m_e}\Rightarrow\\
a=\frac{1.000V\cdot 1{,}602\cdot10^{-19}C}{0{,}06m\cdot9{,}109\cdot10^{-31}kg}=2{,}93\cdot10^{15}\frac m{s^2}.

Mit die­ser Beschleu­ni­gung kön­nen wir die Stre­cke y mit dem Modell Bewe­gung mit kon­stan­ter Beschleu­ni­gung ausrechnen:

y=\frac12a t^2=\frac12\cdot2{,}93\cdot10^{15}\frac m{s^2}\cdot\left(2{,}15\cdot10^{-9}s\right)^2\Rightarrow\\
y=0{,}0068m.

Die Ablen­kung beträgt ca. 6,8 mm.

Wir gehen von einer Bewe­gung mit kon­stan­ter Geschwin­dig­keit in ver­ti­ka­ler x‑Richtung aus und von einer Bewe­gung mit kon­stan­ter Beschleu­ni­gung in hori­zon­ta­ler y‑Richtung.

x(t)=v_0\cdot t\\
y(t)=\frac 12a\cdot t^2.

Wir set­zen die Terme für v_0 aus Auf­gabe 2. und a aus Auf­gabe 4. in die Glei­chung oben ein:

x(t)=\sqrt{\frac{2e\cdot U_b}{m_e}}\cdot t\\[5pt]
y(t)=\frac12\cdot \frac{{U_a}\cdot e}{d\cdot m_e}\cdot t^2.

Wir eli­mi­nie­ren die Varia­ble t indem wir die erste Glei­chung nach t auf­lö­sen und die­sen Term in die zweite Glei­chung einsetzen:

t=\frac{x}{\sqrt{\frac{2e\cdot U_b}{m_e}}}=x\cdot \sqrt{\frac{m_e}{2e\cdot U_b}}\\[5pt]
y=\frac12\cdot \frac{{U_a}\cdot e}{d\cdot m_e}\cdot \left(x\cdot \sqrt{\frac{m_e}{2e\cdot U_b}}\right)^2\Rightarrow\\[5pt]
y=\frac12\cdot \frac{{U_a}\cdot e}{d\cdot m_e}\cdot \frac{m_e}{2e\cdot U_b}\cdot x^2\Rightarrow \\[5pt]
y=\frac{U_a}{4d\cdot U_b}\cdot x^2.

Die Bahn­kurve ist eine Para­bel, genau wie beim waa­ge­rech­ten Wurf der Mechanik.

Wenn die Beschleu­ni­gungs­span­nung gleich der Ablenk­span­nung gewählt wird, kür­zen sich die bei­den Span­nun­gen her­aus und die Bahn­kurve ver­ein­facht sich zu:

y=\frac{1}{4d}\cdot x^2.

Inter­es­san­ter­weise hängt die Form der Bahn­kurve in kei­ner Weise von der Ele­men­tar­la­dung oder der Elek­tro­nen­masse ab. Somit kön­nen mit die­sem Expe­ri­ment ein­fach oder mehr­fach gela­dene Ionen nicht von­ein­an­der getrennt wer­den. Auch Pro­to­nen und Elek­tro­nen ver­hal­ten sich exakt gleich, obwohl sie ganz unter­schied­li­che Mas­sen und Ladun­gen haben.

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10 Kommentare

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Guten Tag Herr Fuchs,
ich habe nicht ganz ver­stan­den, wie man auf das Ergeb­nis der Geschwin­dig­keit kommt. Fuer mich gilt das: ∑WA→B(F→ext)=ΔEC=1/2*m*vB**2−1/2*m*vA **2
d*Fc=1/2*m*vB**2 (wenn va=0 m*s**-1; da FG uner­heb­lich ist)
AB*q*E=1/2*m*vB**2
AB*q*U/d=1/2*m*vB**2
vB=sqrt(2*q*U/m)
Wie kann ich v0 (vA) aus­rech­nen, wenn v0 ungleich 0. Warum koen­nen sagen, dass ∑WA→B(F→ext)=EC, obwohl es gilt soweit ich weiss: ∑WA→B(F→ext)=ΔEC?
Mit freund­li­chen Gruessen
Jerome Danan

PS: Der Kom­men­tar erkennt nicht meine Equivalenzzeichen
AB ist der Abstand zwi­schen den Punk­ten A und B.

Hallo Jerome,

deine For­meln sind schwer zu inter­pre­tie­ren. Du kannst ein­fa­cher etwas von Hand schrei­ben, Pho­to­gra­phien und als Anhang senden. 

Hast du denn alles verstanden?

Viele Grüße

Jür­gen Fuchs

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