Ein­schalt­vor­gang einer Spule

Im Ver­such haben wir gese­hen, dass sich eine Spule beim Ein­schal­ten ganz anders ver­hält als ein gewöhn­li­cher Wider­stand. Bei der Spule nimmt die Strom­stärke beim Ein­schal­ten ganz lang­sam zu, wäh­rend sie beim Wider­stand sofort auf den vol­len Wert springt. Wie kommt es zu die­sem Verhalten?

Die Maschen­re­gel im Gleichstromkreis

Um das Ver­hal­ten zu ver­ste­hen sind die Kirch­hoff­schen Regeln nütz­lich, ins­be­son­dere die Maschen­re­gel. Sie besagt, dass in einem geschlos­se­nen Strom­kreis (einer sog. Masche) die Summe aller Span­nun­gen gleich Null ist.

Wir machen uns das am Bei­spiel eines ein­zel­nen Wider­stands im Strom­kreis klar:

Abb. 1: Die Quel­len­span­nung U0 zeigt im Bild nach links, ebenso der Strom­fluss I im unte­ren Lei­ter. Die Span­nung UR am Wider­stand zeigt aber in die ent­ge­gen­ge­setzte Rich­tung: Die Summe der Span­nun­gen ist gleich Null. 

Die Maschen­re­gel mit zusätz­li­cher Spule

Wir betrach­ten die Spule aus unse­rem Ver­such als ideale Spule ohne Wider­stand. Den tat­säch­li­chen Wider­stand R = 10Ω stel­len wir uns als Rei­hen­schal­tung mit der idea­len Spule mit der Induk­ti­vi­tät L = 4H vor. Die Quel­len­span­nung ist fest und beträgt U0 = 10V:

Abb. 2: Zusätz­lich zur Span­nung am Wider­stand ent­steht an der Spule eine Induk­ti­ons­span­nung. Auch hier gilt: Die Summe der Span­nun­gen ist gleich Null.

Pro­gnose mit der Ände­rungs­rate statt Hellseherei

Wir wol­len nun unter­su­chen, wie sich Strom­stärke I(t) und die Induk­ti­ons­span­nung UInd(t) ent­wi­ckeln, nach­dem der Schal­ter ein­ge­schal­tet wurde. Dazu betrach­ten wir das Sys­tem in klei­nen Zeit­in­ter­val­len Δt. Dies ist eine häu­fig genutzte Methode in der Phy­sik, um das dyna­mi­sche Ver­hal­ten, d.h. die Ver­än­de­rung eines Sys­tems im Laufe der Zeit, zu untersuchen. 

Nach der Lenz’schen Regel gilt für die Induk­ti­ons­span­nung: U_{Ind}(t) = -L\cdot \dot I(t). Fer­ner muss auf­grund der Maschen­re­gel die Summe aller drei vor­kom­men­den Span­nun­gen gleich Null sein. Damit lässt sich die Ände­rungs­rate der Strom­stärke bestimmen:

U_0+U_R+U_{Ind}=0 \Rightarrow\\[5pt]
U_0-I(t)\cdot R - L\cdot \dot I(t)=0\Rightarrow\\[5pt]
\dot I(t)=\frac{U_0-I(t)\cdot R}{L}.

Die Ände­rungs­rate erlaubt uns einen Blick in die Zukunft, denn für eine kleine Zeit­spanne Δt gilt (mathe­ma­tisch inter­es­sierte Men­schen kön­nen das sicher auch begründen):

I(t+\Delta t)=I(t)+\dot I(t)\cdot \Delta t

Damit haben wir die Mög­lich­keit, Schritt für Schritt die Dyna­mik des Sys­tems vor­aus­zu­be­rech­nen. Wir gehen dabei immer in Zeit­schrit­ten von Δt = 0,1 s voran.

t in s00,10,2
I(t) in A00,25
\dot I(t)=\frac{U_0-I(t)\cdot R}{L} in A/s2,5
U_{Ind}=-L\cdot \dot I(t) in V- 10
I(t+\Delta t)=I(t)+\dot I(t)\cdot \Delta t in A0,25

Auf­ga­ben

  1. Betrachte den Link oben zu den Kirch­off­schen Regeln. Über­trage die Abb. 1 ins Heft und erläu­tere die Aus­sage mit der Maschenregel.
  2. Über­trage die Abb. 2 ins Heft und wende die Maschen­re­gel an. 
  3. Stu­diere das Pro­gno­se­ver­fah­ren mit der Ände­rungs­rate \dot I(t) . Lege die obige Tabelle im Heft an und ergänze sie min­des­ten bis t = 0,6 s (oder soweit wie du Lust hast).
  4. Stelle den Ver­lauf von I(t) und UInd(t) gra­phisch dar.

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4 Kommentare

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Hallo Herr Fuchs, ich weiss nicht, ob ich grad ein­fach auf dem Schlauch stehe, denn eig sollte es nicht so schwer sein. Wie berechne ich I(t) oder ist das schon gegeben?
Lg luke schöne pfingstferien

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