Die Spann­ener­gie

Die Spann­ener­gie ist eine Ener­gie­form, die in der Mensch­heits­ge­schichte schon früh­zei­tig zur Jagd, aber auch für feind­li­che Angriffe und deren Ver­tei­di­gung ein­ge­setzt wurde.

Wir wol­len her­aus­fin­den, wie viel Ener­gie in einer gespann­ten Feder gespei­chert ist und, wovon diese Ener­gie­menge abhängt.

Ver­such

An eine Feder wird ein Mas­se­stück der Masse m gehängt und vor­sich­tig bis in die Gleich­ge­wichts­po­si­tion bei s₂ abge­senkt. In einem zwei­ten Ver­such wird das Mas­se­stück erneut in die Feder ein­ge­hängt und sofort los­ge­las­sen. Es fällt über die Gleichge­wichts­position hin­aus und erreicht sei­nen Tief­punkt bei s₃. Es zeigt sich, dass die Aus­len­kung s₃ im Tief­punkt immer dop­pelt so groß ist wie die Aus­len­kung s₂ in der Ruhe­lage, unab­hän­gig von der Masse und der Feder­kon­stan­ten (siehe auch die Videos bei Auf­gabe 1).

Mit die­sen expe­ri­men­tel­len Beob­ach­tun­gen lässt sich ein Term für die Spann­ener­gie herleiten:

• In Pos. 2 ist die Gewichts­kraft im Gleich­ge­wicht mit der Spann­kraft: F_g = F_{sp} . Nach dem Hook’schen Gesetz gilt dann: m\cdot g=D\cdot s_2 , denn die Feder ist um die Stre­cke s_2 ausgelenkt. 
• Wir stel­len eine Ener­gie­bi­lanz in den Posi­tio­nen 1 und 3 auf und berück­sich­ti­gen nur die Ener­gie­for­men E_pot und E_sp. Es ist hilf­reich, in Pos. 3 den Null­punkt der poten­ti­el­len Ener­gie zu legen:

• Wir set­zen m\cdot g=D\cdot s_2 in die Gesamt­ener­gie in Pos. 3 ein: E_{sp}=D\cdot s_2\cdot s_3 .
• Nun nut­zen wir unsere expe­ri­men­telle Erkennt­nis s_2 =\frac{1}{2}\cdot s_3 und set­zen die­sen Term oben ein:
• E_{sp}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s_3^2 .

Auf­gabe 1

Lies die Aus­len­kun­gen der Feder in den Ver­su­chen 1 und 2 ab. und bestimme die Feder­kon­stante D sowie die Spann­ener­gie jeweils im Punkt der stärks­ten Ausrenkung.

Auf­gabe 2

Ein Pfeil der Masse 0,1 kg wird gegen die Feder einer Spiel­zeug­pistole gedrückt (a) und ver­lässt nach dem Abschuss die Pis­tole mit hoher Geschwin­dig­keit (b). Die Feder­kon­stante hat den Wert D = 250 N/m und die Aus­len­kung der Feder ist s = 6 cm.

Bestimme, wie weit der Pfeil fliegt, wenn er aus der Höhe von 1 Meter waa­ge­recht abge­schos­sen wird.

Auf­gabe 3

Eine Kugel der Masse m = 2,6 kg fällt in Pos 1 aus einer Höhe y₁ = 55 cm und trifft in Pos 2 (y₂ = 0 cm) auf eine Feder. Die Kugel wird durch die Feder abge­bremst und kommt in Pos 3 bei y₃ = ‑15 cm zur Ruhe. Luft­wi­der­stand, Rei­bung und die Masse der Feder blei­ben unbe­rück­sich­tigt. Gesucht wird die Feder­kon­stante D.

1. Wel­che drei Ener­gie­for­men kom­men in dem Sys­tem vor?
2. Stelle die Werte der drei Ener­gie­for­men in den Pos 1 – 3 in einer Tabelle zusam­men (die poten­ti­elle Ener­gie in Punkt 2 ist 0 J und in Punkt 3 < 0 J). Gib auch die Gesamt­ener­gie des Sys­tems an. 
3. Bestimme die Geschwin­dig­keit der Kugel in Punkt 2. 
4. Gib eine Bestim­mungs­glei­chung für die Feder­kon­stante D an und löse diese Gleichung. 
5. An wel­cher Stelle erreicht die Kugel ihre größte Geschwin­dig­keit und wie groß ist sie?

Lösung 1

Wir lesen im Ver­such 1 ab, dass die Feder um 14,5 cm aus­ge­lenkt wird. Somit ist D = \frac{0{,}45N}{14{,}5 cm} = 0{,}031 N/cm = 3{,}1 N/m.

Bei Ver­such 1 ist die Spann­ener­gie:

E_{Sp}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2 =\frac{1}{2}\cdot 3{,}1 N/m\cdot (0{,}145m)^2= 0{,}033J.

Und im Ver­such 2:

E_{Sp}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2 =\frac{1}{2}\cdot 3{,}1 N/m\cdot (0{,}29m)^2= 0{,}13J. Durch die dop­pelte Aus­len­kung erhöht sich die Spann­ener­gie auf den vier­fa­chen Wert.

Lösung 2

Die Spann­ener­gie der Feder wird voll­stän­dig in kine­ti­sche Ener­gie des Pfeils umge­wan­delt. Damit lässt sich die Abschuss­ge­schwin­dig­keit des Pfeils berechnen:

E_{sp}=E_{kin}\\
\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 \quad|\ :m\cdot 2;\sqrt {}\quad \Rightarrow\\
v=\sqrt {\frac{D}{m}}\cdot s=\sqrt {\frac{250 N/m}{0{,}1kg}}\cdot 0{,}06m=3 m/s.

Inter­es­sant: Die Abschuss­ge­schwin­dig­keit ist pro­por­tio­nal zur Aus­len­kung: v \sim s .

Für die Weite des Schus­ses benö­ti­gen wir die Zeit, die der Pfeil benö­tigt, aus einer Höhe von 1 Meter, den Boden zu errei­chen. Wir nut­zen die For­mel für den freien Fall:

t=\sqrt {\frac{2h}{g}}=\sqrt {\frac{2\cdot 1m}{10m/s^2}}=0{,}45s.

Somit erreicht der Pfeil eine Weite von 3m/s\cdot 0{,}45s=1{,}34\ m.

Lösung 3

1. Es gibt die poten­ti­elle, die kine­ti­sche und die Spannenergie.

2. Ener­gie­ta­belle

Pos.	E_{pot}	E_{kin}	E_{sp}	E_{ges}
1: 0,55 m	14,3 J	0 J	0 J	14,3 J
2: 0 m	0 J	14,3 J	0 J	14,3 J
3: ‑0,15 m	-3,9 J	0 J	18,2 J	14,3 J

3. Wir lösen die For­mel für die kine­ti­sche Ener­gie in Pos. 2 nach der Geschwin­dig­keit v auf:

E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\quad |\cdot 2:m; \sqrt {} \Rightarrow\\
v=\sqrt {\frac{2\cdot E_{kin}}{m}}=\sqrt {\frac{2\cdot 14{,}3J}{2{,}6kg}}=3,32 m/s.

4. Wir lösen die For­mel für die Spann­ener­gie in Pos. 3 nach der Feder­kon­stan­ten D auf:

E_{sp}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2\quad|\cdot 2:s^2 \ \Rightarrow\\
D=\frac{2\cdot E_{sp}}{s^2}=\frac{2\cdot 18{,}2J}{(0{,}15m)^2}=1618 N/m.

5. Die Kugel beschleu­nigt so lange nach unten wie die Summe aller auf sie ein­wir­ken­den Kräfte nach unten zeigt. Über­trage die fol­gende Skizze ins Heft.

In Pos. 1 und Pos. 2 ist die Feder noch nicht ange­spannt. Es wirkt ledig­lich die Gewichts­kraft auf die Kugel ein. In die­sen Posi­tio­nen beschleu­nigt sie nach unten.

In Pos. 3 ist die Spann­kraft grö­ßer als die Gewichts­kraft. In die­ser Posi­tion beschleu­nigt die Kugel nach oben .

Zwi­schen Pos. 2 und Pos. 3 gibt es eine Pos. x, in der die Beschleu­ni­gung ihre Rich­tung wech­selt. Bis zu die­ser Posi­tion beschleu­nigt die Kugel nach unten. Daher erreicht sie dort ihre maxi­male Geschwin­dig­keit, denn nach die­ser Posi­tion beschleu­nigt die Kugel nach oben, d.h. sie bremst ab, bis sie in Pos. 3 kurz zum Hal­ten kommt.

Die Pos. x ist dadurch gekenn­zeich­net, dass die Gewichts­kraft gleich der Spann­kraft ist:

F_g=F_{sp}\\
m\cdot g=D\cdot s\quad|:D\ \Rightarrow\\
s=\frac{m\cdot g}{D}=\frac{2{,}6kg\cdot 10N/kg}{1618N/m}=0,016m.

Die Pos. x liegt also 1,6 cm unter­halb der Pos. 2. Wir stel­len die Ener­gie­ta­belle in der Pos. x auf:

Pos.	E_{pot}	E_{kin}	E_{sp}	E_{ges}
x: ‑0,016 m	-0,42 J	14,51 J	0,21 J	14,3 J

Tat­säch­lich ist die kine­ti­sche Ener­gie etwas höher als in Pos. 2. Mit der For­mel aus Teil­auf­gabe 3. erhal­ten wir eine Geschwin­dig­keit von 3,34 m/s, die etwas grö­ßer ist als in Pos. 2.