Wir haben kennengelernt, dass sich die Normalparabel mit dem Streckfaktor a verformen und mit dem Wert e längs der y‑Achse verschieben lässt. In diesem Beitrag untersuchen wir, wie sich die Parabel längs der x‑Achse verschieben lässt. Aber aufgepasst, es gibt einen kleinen Unterschied zwischen den Verschiebungen längs der y‑Achse und längs der x‑Achse. Danach untersuchen wir, wie die Nullstellen der Parabel von den Verschiebungswerten und dem Streckfaktor abhängen.
In einer Anwendungsaufgabe nutzen wir die Scheitelpunktsform, um die Funktionsgleichung einer Parabelförmigen Flugbahn beim Fußball zu bestimmen.
Die Scheitelpunktsform
Bewege die Schieberegler und beobachte, welchen Einfluss die Parameter a, d und e auf die Form der Parabel haben.
Aufgaben
- Lege eine Skizze der verschobenen Normalparabel im Heft an und notiere dazu die Funktionsgleichung der Scheitelpunktsform sowie die Bedeutung der Parameter a, d und e.
- Bestimme mit Hilfe der Animation die Parameter a, d und e so, dass die Parabel:
- Nach oben geöffnet ist und die Nullstellen N1(0|0) und N2(2|0) hat,
- nach unten geöffnet ist und die Nullstellen N1(-1|0) und N2(4|0) hat.
- Skizziere die beiden Parabeln im Heft und notiere dazu die Funktionsgleichungen
- Bearbeite die Aufgaben 1, 2, 5 und 7 auf Seite 96.
Nullstellen bei der Scheitelpunktsform
- Untersuche mit der Animation, unter welchen Umständen die Parabel keine, eine oder zwei Nullstellen hat. Notiere Regeln, wie die Anzahl der Nullstellen von den Parametern a, d und e abhängen und wie die Nullstellen mit den Koordinaten des Scheitelpunktes zusammenhängen.
- Bearbeite die Aufgaben 8, 9 und 11 auf Seite 97.
Abstoß beim Fußball
Lilly schießt den Ball beim Abstoß x=32 Meter weit. Dabei erreicht der Ball eine maximale Höhe von y=8 Metern.
Bewege den Schieberegler oder tippe auf das Startsymbol ▶
Aufgaben
- Skizziere das Koordinatensystem und die Flugbahn des Balls im Heft. Beschrifte die Skizze mit den Koordinaten des Scheitelpunktes sowie der Nullstellen.
- Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung f(x) = a\cdot (x - d)^2 + e in der Scheitelpunktsform. Kontrolle: f(x)=-\frac{1}{32}\cdot (x - 16)^2 +8 .
- Ben steht 28 Meter von Lilly entfernt. Er springt beim Kopfball 2,20 Meter hoch. Kann er Lillys Abstoß mit seinem Kopf erreichen? Zeichne die Situation in deiner Skizze ein und rechne nach.
- In welchem Abstand von Lilly ist der Ball höher als 6 Meter? Zeichne die Situation in deiner Skizze ein und berechne den Bereich, in dem der Ball höher als 6 Meter ist. Beachte, dass es beim Wurzelziehen immer zwei Lösungen gibt.
- Berechne, in welcher Entfernung von Lilly Ben den Ball mit seinem Kopf erreichen kann.
Aus der Aufgabenstellung und der Skizze entnehmen wir die Koordinaten des Scheitelpunktes. Die x- Koordinate ist genau halb so weit wie Lillys Abstoß, nämlich 16 Meter:
S(16|8) \ \Rightarrow \ d = 16;\quad e=8.
Damit machen wir den Ansatz mit der Scheitelpunktsform:
f(x)=a\cdot (x-16)^2+8.
Fehlerquelle: Beachte, das die Verschiebung längs der x- Achse negativ bewertet wird
Um den Streckfaktor a zu bestimmen, brauchen wir noch einen weiteren Punkt. Hier bietet sich die Nullstelle (0|0) an, d.h. wir setzen x=0 und y=0 und lösen nach a auf. Die Rechnung geht genau wie bei der Müngstener Brücke:
0=a\cdot (0-16)^2+8\quad|-8\\[5pt]
-8=a\cdot 256\quad|:256\\[5pt]
a=-\frac{1}{32}\quad\Rightarrow\\[5pt]
f(x)=-\frac{1}{32}\cdot (x-16)^2 + 8.Gegeben: f(x)=-\frac{1}{32}\cdot (x-16)^2 + 8,\quad x=28, \quad y=2{,}2 .
Zur Lösung dieser Aufgabe müssen wir eine Punktprobe machen, d.h. wir vergleichen den Punkt B von Bens Kopfhöhe mit dem Punkt P des Balls in der Entfernung von x = 28 Metern:
Rechnung: B(28|2{,}2), \quad P(28|f(28)) . Wir müssen die y- Koordinate des Balls berechnen, indem wir x=28 in f(x) einsetzen: \Rightarrow f(28) = 3{,}5 Meter.
Analyse: Der Ball ist mit 3,5 Metern viel höher als Bens Kopf (2,2 Meter). Ben hat keine Chance, den Ball zu erreichen.
Gegeben: f(x)=-\frac{1}{32}\cdot (x-16)^2 + 8,\quad y=6 .
Zur Lösung dieser Aufgabe müssen wir die Funktionsgleichung mit dem gegebnen y- Wert gleichsetzen und nach x auflösen. Gesucht ist der Bereich zwischen den beiden Lösungen x_1 und x_2 :
6=-\frac{1}{32}\cdot (x-16)^2 + 8\quad |-8\\[5pt]
-2=-\frac{1}{32}\cdot (x-16)^2 \quad |: (-\frac{1}{32})\\[5pt]
64=(x-16)^2 \quad |\sqrt{\ }\\[5pt]
x-16 = -8\quad\vee\quad x-16=8\quad|+16\\[5pt]
x = 8\quad\vee\quad x=24Hinweis: Du kannst anstelle von :(-\frac{1}{32}) auch \cdot (-32) rechnen. Dadurch kürzt sich der Faktor vor der Klammer weg.
Fehlerquelle: Beachte, dass es beim Wurzelziehen immer zwei mögliche Lösungen geben kann, denn 8^2=64 und gleichzeitig auch (-8)^2=64 .
Analyse: Der gesuchte Bereich liegt zwischen den beiden Lösungen x_1 = 8 und x_2 = 24 Metern.
Antwort: Im Abstand zwischen 8 Metern und 24 Metern ist der Ball höher als 6 Meter.
Hinweis: Die Rechnung geht ähnlich wie in Aufgabe 8, runde deine Ergebnisse auf 2 Stellen hinter dem Komma.
Beachte: Es gibt zwei getrennte Bereiche, in denen Ben den Ball erreichen kann.
Kontrolle: x_1 \approx 2{,}38 Meter und x_2 \approx 29{,}62 Meter.
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