09 M FUS

Die Schei­tel­punkts­form der Parabel

Wir haben ken­nen­ge­lernt, dass sich die Nor­mal­pa­ra­bel mit dem Streck­fak­tor a ver­for­men und mit dem Wert e längs der y‑Achse ver­schie­ben lässt. In die­sem Bei­trag unter­su­chen wir, wie sich die Para­bel längs der x‑Achse ver­schie­ben lässt. Aber auf­ge­passt, es gibt einen klei­nen Unter­schied zwi­schen den Ver­schie­bun­gen längs der y‑Achse und längs der x‑Achse. Danach unter­su­chen wir, wie die Null­stel­len der Para­bel von den Ver­schie­bungs­wer­ten und dem Streck­fak­tor abhängen.

In einer Anwen­dungs­auf­gabe nut­zen wir die Schei­tel­punkts­form, um die Funk­ti­ons­glei­chung einer Para­bel­för­mi­gen Flug­bahn beim Fuß­ball zu bestimmen. 

Die Schei­tel­punkts­form

Bewege die Schie­be­reg­ler und beob­achte, wel­chen Ein­fluss die Para­me­ter a, d und e auf die Form der Para­bel haben.

Auf­ga­ben

  1. Lege eine Skizze der ver­scho­be­nen Nor­mal­pa­ra­bel im Heft an und notiere dazu die Funk­ti­ons­glei­chung der Schei­tel­punkts­form sowie die Bedeu­tung der Para­me­ter a, d und e.
  2. Bestimme mit Hilfe der Ani­ma­tion die Para­me­ter a, d und e so, dass die Parabel: 
    • Nach oben geöff­net ist und die Null­stel­len N1(0|0) und N2(2|0) hat,
    • nach unten geöff­net ist und die Null­stel­len N1(-1|0) und N2(4|0) hat.
    • Skiz­ziere die bei­den Para­beln im Heft und notiere dazu die Funktionsgleichungen
  3. Bear­beite die Auf­ga­ben 1, 2, 5 und 7 auf Seite 96.

Null­stel­len bei der Scheitelpunktsform

  1. Unter­su­che mit der Ani­ma­tion, unter wel­chen Umstän­den die Para­bel keine, eine oder zwei Null­stel­len hat. Notiere Regeln, wie die Anzahl der Null­stel­len von den Para­me­tern a, d und e abhän­gen und wie die Null­stel­len mit den Koor­di­na­ten des Schei­tel­punk­tes zusammenhängen.
  2. Bear­beite die Auf­ga­ben 8, 9 und 11 auf Seite 97.

Abstoß beim Fußball

Lilly schießt den Ball beim Abstoß x=32 Meter weit. Dabei erreicht der Ball eine maxi­male Höhe von y=8 Metern.

Bewege den Schie­be­reg­ler oder tippe auf das Startsymbol ▶

Auf­ga­ben

  1. Skiz­ziere das Koor­di­na­ten­sys­tem und die Flug­bahn des Balls im Heft. Beschrifte die Skizze mit den Koor­di­na­ten des Schei­tel­punk­tes sowie der Nullstellen.
  2. Bestimme rech­ne­risch die Funk­ti­ons­glei­chung f(x) = a\cdot (x - d)^2 + e in der Schei­tel­punkts­form. Kon­trolle: f(x)=-\frac{1}{32}\cdot (x - 16)^2 +8 .
  3. Ben steht 28 Meter von Lilly ent­fernt. Er springt beim Kopf­ball 2,20 Meter hoch. Kann er Lil­lys Abstoß mit sei­nem Kopf errei­chen? Zeichne die Situa­tion in dei­ner Skizze ein und rechne nach.
  4. In wel­chem Abstand von Lilly ist der Ball höher als 6 Meter? Zeichne die Situa­tion in dei­ner Skizze ein und berechne den Bereich, in dem der Ball höher als 6 Meter ist. Beachte, dass es beim Wur­zel­zie­hen immer zwei Lösun­gen gibt.
  5. Berechne, in wel­cher Ent­fer­nung von Lilly Ben den Ball mit sei­nem Kopf errei­chen kann. 
Skizze nicht maßstäblich.

Aus der Auf­ga­ben­stel­lung und der Skizze ent­neh­men wir die Koor­di­na­ten des Schei­tel­punk­tes. Die x- Koor­di­nate ist genau halb so weit wie Lil­lys Abstoß, näm­lich 16 Meter:

S(16|8) \ \Rightarrow \ d = 16;\quad e=8.

Damit machen wir den Ansatz mit der Scheitelpunktsform:

f(x)=a\cdot (x-16)^2+8.

Feh­ler­quelle: Beachte, das die Ver­schie­bung längs der x- Achse nega­tiv bewer­tet wird

Um den Streck­fak­tor a zu bestim­men, brau­chen wir noch einen wei­te­ren Punkt. Hier bie­tet sich die Null­stelle (0|0) an, d.h. wir set­zen x=0 und y=0 und lösen nach a auf. Die Rech­nung geht genau wie bei der Müngs­te­ner Brü­cke:

0=a\cdot (0-16)^2+8\quad|-8\\[5pt]
-8=a\cdot 256\quad|:256\\[5pt]
a=-\frac{1}{32}\quad\Rightarrow\\[5pt]
f(x)=-\frac{1}{32}\cdot (x-16)^2 + 8.

Gege­ben: f(x)=-\frac{1}{32}\cdot (x-16)^2 + 8,\quad x=28, \quad y=2{,}2 .

Zur Lösung die­ser Auf­gabe müs­sen wir eine Punkt­probe machen, d.h. wir ver­glei­chen den Punkt B von Bens Kopf­höhe mit dem Punkt P des Balls in der Ent­fer­nung von x = 28 Metern:

Rech­nung: B(28|2{,}2), \quad P(28|f(28)) . Wir müs­sen die y- Koor­di­nate des Balls berech­nen, indem wir x=28 in f(x) ein­set­zen: \Rightarrow f(28) = 3{,}5 Meter. 

Ana­lyse: Der Ball ist mit 3,5 Metern viel höher als Bens Kopf (2,2 Meter). Ben hat keine Chance, den Ball zu erreichen.

Gege­ben: f(x)=-\frac{1}{32}\cdot (x-16)^2 + 8,\quad y=6 .

Zur Lösung die­ser Auf­gabe müs­sen wir die Funk­ti­ons­glei­chung mit dem gegeb­nen y- Wert gleich­set­zen und nach x auf­lö­sen. Gesucht ist der Bereich zwi­schen den bei­den Lösun­gen x_1 und x_2 :

6=-\frac{1}{32}\cdot (x-16)^2 + 8\quad |-8\\[5pt]
-2=-\frac{1}{32}\cdot (x-16)^2  \quad |: (-\frac{1}{32})\\[5pt]
64=(x-16)^2  \quad |\sqrt{\ }\\[5pt]
x-16 = -8\quad\vee\quad x-16=8\quad|+16\\[5pt]
x = 8\quad\vee\quad x=24

Hin­weis: Du kannst anstelle von :(-\frac{1}{32}) auch \cdot (-32) rech­nen. Dadurch kürzt sich der Fak­tor vor der Klam­mer weg.

Feh­ler­quelle: Beachte, dass es beim Wur­zel­zie­hen immer zwei mög­li­che Lösun­gen geben kann, denn 8^2=64 und gleich­zei­tig auch (-8)^2=64 .

Ana­lyse: Der gesuchte Bereich liegt zwi­schen den bei­den Lösun­gen x_1 = 8 und x_2 = 24 Metern.

Ant­wort: Im Abstand zwi­schen 8 Metern und 24 Metern ist der Ball höher als 6 Meter.

Hin­weis: Die Rech­nung geht ähn­lich wie in Auf­gabe 8, runde deine Ergeb­nisse auf 2 Stel­len hin­ter dem Komma. 

Beachte: Es gibt zwei getrennte Berei­che, in denen Ben den Ball errei­chen kann.

Kon­trolle: x_1 \approx 2{,}38 Meter und x_2 \approx 29{,}62 Meter.

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