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Die Heisenberg’sche Unschärferelation

Die Hei­sen­berg­sche Unschär­fe­re­la­tion oder Unbe­stimmt­heits­re­la­tion ist die Aus­sage der Quan­ten­phy­sik, dass der Ort und der Impuls eines Teil­chens nicht gleich­zei­tig belie­big genau mess­bar sind. Die Unschär­fe­re­la­tion ist nicht die Folge von Unzu­läng­lich­kei­ten eines ent­spre­chen­den Mess­vor­gangs, son­dern prin­zi­pi­el­ler Natur. Sie wurde 1927 von Wer­ner Hei­sen­berg im Rah­men der Quan­ten­me­cha­nik formuliert.

Hei­sen­berg konnte auf­grund von theo­re­ti­schen Über­le­gun­gen zei­gen, dass das Pro­dukt aus der Mess­unsicher­heit, der sog. Unschärfe, des Ortes \Delta x und des Impul­ses \Delta p nicht belie­big klein wer­den kann. Es gilt: 

\Delta x\cdot \Delta p\ge\frac{h}{4\pi}

Das bedeu­tet z.B., dass ein Elek­tron nicht an einem genau bekann­ten Ort in Ruhe sein kann, denn ist das Elek­tron in Ruhe, ist p = 0 und \Delta p ist sehr klein. Also muss die Unschärfe \Delta x des Orts sehr groß sein. 

Gedan­ken­ex­pe­ri­ment: Das Heisenberg-Mikroskop 

a) Ohne Beleuch­tung kann das Elek­tron nicht beob­ach­tet wer­den. Die Licht­quel­len b) und c) füh­ren zu ganz eige­nen Problemen. 

Beu­gung am Spalt

Eine Wel­len­front bewegt sich in z‑Richtung und wird am Ein­zel­spalt gebeugt: Die Spalt­breite Δx ist ein Maß für die Orts­un­schärfe. Die Breite Δp des Beu­gungs­bil­des ist ein Maß für die Unschärfe des Impul­ses in x‑Richtung. Unter­su­che mit der Simu­la­tion bei Leifi, wie Δp mit der Spalt­breite Δx und der Wel­len­länge λ zusam­men­hängt. Hin­weis: Die x‑Achse ist hier vertikal.
Es ist schön zu sehen, wie das Beu­gungs­bild des Ein­zel­spal­tes das des Dop­pel­spal­tes mit der sel­ben Spalt­breite über­la­gert. Vie­len Dank an Irina für die Foto­gra­fien. Für Inter­es­sierte: Ein Arbeits­blatt zur Beu­gung am Ein­zel­spalt.

Deu­tung im Wellenbild

Links: Spek­trum eines Wel­len­zu­ges, rechts: Ver­tei­lung im Raum.
Oben: Schar­fes Spek­trum und aus­ge­dehn­ter Wel­len­zug.
Unten: Unschar­fes Spek­trum und räum­lich schar­fer Wellenzug.

Akus­ti­sche Analogie

Vie­len Dank an die Uni Frei­burg für das Video.

Oben: Schall­welle als Funk­tion der Zeit. Unten: Fre­quenz­spek­trum der Schall­welle. Die zeit­li­che Länge des Wel­len­zu­ges und die Ton­höhe bzw. Wel­len­länge ver­hal­ten sich ähn­lich wie Ort und Impuls eines Teil­chens. Mes­sen wir eine der bei­den Grö­ßen scharf, ver­min­dert sich die Schärfe der zwei­ten Größe. Die Fre­quenz von 800 Hz des Tons lässt sich nur dann wahr­neh­men, wenn die­ser lange genug hör­bar ist. 

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