Die Äqui­va­lenz von Masse und Energie

E = mc² ist sicher­lich die berühm­teste For­mel der Welt. Sie besagt, dass die Ände­rung des Ener­gie­zu­stan­des eines Kör­pers immer mit der Ände­rung sei­ner Masse ein­her­geht. Ein­stein hat die­sen Zusam­men­hang im Jahr 1905 erkannt. 

Eine beson­ders anschau­li­che Her­lei­tung der berühm­ten For­mel, die im Wesent­li­chen auf der Impuls­er­hal­tung beruht, hat Ein­stein im Jahr 1946 veröffentlicht.

Albert Ein­stein: Aus mei­nen spä­ten Jahren.

Masse und Energie 

Auf­grund der rela­ti­vis­ti­schen Mas­senzu­nahme wird es ver­ständ­lich, dass es einen Zusam­men­hang zwi­schen der Ener­gie eines Kör­pers und sei­ner Masse geben muss. Aber wie ist Ein­stein auf seine berühmte For­mel gekommen? 

Her­lei­tung der Formel

Ein­stein betrach­tet einen Kör­per der Ruhe­masse m₀, der zwei gegen­läu­fige Pho­to­nen mit der Gesamt­ener­gie E absor­biert. Durch die Absorp­tion nimmt die Ener­gie des Kör­pers zu. Ein­stein betrach­tet die Situa­tion ein­mal aus einem mit­be­weg­ten Sys­tem S’ und ein­mal aus einem ruhen­den Sys­tem S. Er macht fol­gende plau­si­ble Annahmen:

• Pho­to­nen besit­zen eine Ener­gie E=h\cdot f
• Pho­to­nen besit­zen einen Impuls p=\frac{h}{\lambda}
• Der Gesamt­im­puls vor und nach der Absorp­tion bleibt erhal­ten

Aus der Sicht des ruhen­den Sys­tems tref­fen die Pho­to­nen in einem Win­kel α zur y‑Achse auf den Kör­per. Ein­stein zeigt, dass in die­sem Fall der Gesamt­im­puls nur dann erhal­ten bleibt, wenn die Masse m des beweg­ten Kör­pers nach Absorp­tion der Pho­to­nen wei­ter zunimmt.

Auf­ga­ben

1. Zeige, dass für den Impuls eines Pho­tons die Bezie­hung p = \frac{E}{c} gilt.
2. Begründe, dass der Gesamt­im­puls im Sys­tem S’ vor und nach der Absorp­tion gleich ist. 

Im ruhen­den Bezugs­sys­tem beob­ach­tet man die rela­ti­vis­ti­sche Masse m des Kör­pers. Ein­stein nimmt an, dass diese Masse allein durch die Absorp­tion der Pho­to­nen wei­ter zunimmt auf den Wert m’.

3. Zeige, dass der Gesamt­im­puls im Sys­tem S vor der Absorp­tion der Pho­to­nen gege­ben ist durch die Bezie­hung m\cdot v + \frac{E\cdot v}{c^2} .
4. Begründe nun mit der Impuls­er­hal­tung nach der Absorp­tion, dass für die Mas­senzu­nahme \Delta m = m'-m die Bezie­hung gilt: 

E=\Delta m\cdot c^2

Hin­weis: Die Mas­senzu­nahme \Delta m ist nicht zu ver­wech­seln mit der rela­ti­vis­ti­schen Mas­senzu­nahme. \Delta m ist voll­kom­men unab­hän­gig von der Rela­tiv­ge­schwin­dig­keit v und gilt somit auch für ruhende Körper.

E=h\cdot f\\[5pt]
c=\lambda\cdot f \Rightarrow \\[5pt]
f=\frac{c}{\lambda}\Rightarrow \\[5pt]
E=\frac{h}{\lambda}\cdot c

\frac{E}{c}=p

\sin \alpha = \frac{v}{c}.

p = p_{\text{Körper}} + p_{\text{Photonen}} \Rightarrow \\[5pt]
p = m\cdot v + (p_{1,x}+ p_{2,x})\Rightarrow \\[5pt]
p=m\cdot v+ 2\cdot p_{1,x}\ .

p_{1,x} =p_1\cdot \sin \alpha\Rightarrow \\[5pt]
p_{1,x}=p_1\cdot \frac{v}{c} .

p_{1,x}=\frac{E_1}{c}\cdot \frac{v}{c}=\frac{E_1\cdot v}{c^2}

p=\frac{E\cdot v}{c^2}

p_\text{vor der Absorption}=p_\text{nach der Absorption}\\[5px]
m\cdot v+\frac{E\cdot v}{c^2}=m'\cdot v

m+\frac{E}{c^2}=m'\quad |-m;\ \cdot c^2 \\[5px]
E=(m'-m)\cdot c^2

E=\Delta m\cdot c^2\ .

Übung

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