Die Ablei­tung einer Expo­nen­ti­al­funk­tion mit der Euler’schen Zahl

Bis­her kön­nen wir die Ablei­tung einer Expo­nen­ti­al­funk­tion f(x)=a\cdot b^x noch nicht berech­nen. Die Potenz­re­gel der Ablei­tung ist hier­bei nicht anwend­bar, denn dort ist stets die Varia­ble x die Basis mit einem kon­stan­ten Expo­nen­ten, wäh­rend wir bei der Expo­nen­ti­al­funk­tion eine kon­stante Basis b mit varia­blem Expo­nen­ten haben.

Leo­nard Euler hat im Jahr 1748 gezeigt, dass die­ses Pro­blem der nach ihm benann­ten Zahl e zu lösen ist.

Der Graph einer Exponentialfunktion

Mit dem GTR kannst du den Graph der Expo­nen­ti­al­funk­tion f(x)=2^x zusam­men mit ihrer Ablei­tung erzeugen:

Erzeuge die Ablei­tung in Y2 mit OPTN CALC
Ska­liere mit V‑Window so, dass die Gra­phen von \blue{f(x)} und \red {f'(x)} gut erkenn­bar sind.

Im Buch wird auf Seite 112 und 113 bewie­sen, dass die Ablei­tung f'(x) = f'(0) \cdot 2^x wie­derum eine Expo­nen­ti­al­funk­tion mit der Basis 2 ist, die gegen­über der Aus­gangs­funk­tion f(x) = 2^x mit dem kon­stan­ten Fak­tor f'(0) gestreckt ist.

Notiere den Satz im Heft und mache dich mit dem Beweis soweit ver­traut, dass du ein­zel­nen Schritte erläu­tern kannst.

Eine Expo­nen­ti­al­funk­tion, die mit ihrer Ablei­tung übereinstimmt

Im Buch wird auch Sete 113 gezeigt, dass es eine Basis e gibt, mit der die Expo­nen­ti­al­funk­tion mit ihrer Ablei­tung übereinstimmt.

Auf­ga­ben

  1. Expe­ri­men­tiere im GTR mit ver­schie­de­nen Expo­nen­ti­al­funk­tion f(x) = 2^x; f(x) = 3^x; f(x) = 2{,}5^x; f(x) = \dots mit dem Ziel, dass die Gra­phen der Funk­tion und ihrer Ablei­tung mög­lichst gut über­ein­stim­men. Notiere die Basis e mög­lichst genau.
  2. Im Buch wird gezeigt, dass man die Zahl e \approx \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n gewin­nen kann, wenn man für die natür­li­che Zahl n immer grö­ßere Werte ein­setzt. Lege im Heft eine Tabelle an und berechne:
n110100100010000
e \approx\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n 2

Über­nimm den Satz ins Heft und zeichne den Gra­phen der e‑Funktion im Bereich – 3 ≤ x ≤ 2,5 und 0 ≤ y ≤ 10.

Bewerte die­sen Beitrag 

Durch­schnitt­lich / 5. Anzahl der Bewer­tun­gen

11 Kommentare

Kommentieren →

Schreibe einen Kommentar

The maximum upload file size: 46 MB. You can upload: image, audio, video, document, spreadsheet, interactive, other. Links to YouTube, Facebook, Twitter and other services inserted in the comment text will be automatically embedded.