Der lineare Potentialtopf bzw. synonym Potentialkasten ist ein stark vereinfachendes Modell der Bewegung von Elektronen. Dennoch ist dieses Modell gut geeignet, die Beschreibung der Energiestufen eines Elektrons durch Wellenfunktionen anschaulich und berechenbar zu machen.
Zudem lässt sich das Modell nutzen, um Absorptionen in langestreckten Farbstoffmolekülen näherungsweise zu berechnen.
Ein einzelnes Elektron bewegt sich in einem linearen Draht der Länge L. Im Inneren des Drahts kann sich das Elektron kräftefrei hin- und herbewegen, es kann den Draht aber nicht verlassen.
Diese Situation modellieren wir durch einen sog. Potentialtopf der Länge L. Im Inneren des Topfs ist die potentielle Energie gleich Null. Das Elektron bewegt sich im Potentialtopf und besitzt als einzige Energieform die kinetische Energie. Die Wände des Topfs sind unendlich hoch. Daher könnte das Elektron nur dann aus dem Potentialtopf entkommen, wenn es eine unendlich hohe kinetische Energie hätte.
Im Teilchenmodell würde das schwingende Elektron eine Dipolstrahlung aussenden und seine Energie in kurzer Zeit verlieren. Daher modellieren wir die Bewegung des Elektrons durch eine Wellenfunktion \Psi_n(x), \ n = 1, 2, 3, \dots , deren genaue Gestallt von der Quantenzahl \bf n abhängt. Dabei sollen alle Wellenfunktionen die Randbedingung \Psi_n(0) = \Psi_n(L) = 0 erfüllen. Es bilden sich somit wie bei einer schwingenden Gitarrensaite stehende Wellen in dem Potentialtopf heraus.
Aufgaben
- Skizziere das Modell des Potentialtopfs im Heft. Ergänze noch eine weitere stehende Welle für die Quantenzahl n = 4 .
- Begründe, warum nur bestimmte Wellen in dem Potentialtopf existieren können.
- Zeige, dass die Funktionenschar \Psi_n(x) = \hat \Psi_n\cdot \sin(k_n\cdot x) geeignet ist, die stehenden Wellen im Potentialtopf zu beschreiben.
- k_n wird auch als Wellenzahl bezeichnet. Leite einen Term her, der die Wellenzahl abhängig von der Quantenzahl n und der Länge des Topfs beschreibt. Bestimme ebenfalls einen Term für die zugehörige Wellenlänge \lambda_n .
Zu jeder Wellenfunktion \Psi_n(x) gehört eine Wellenlänge \lambda_n . Nach de Broglie kannst du daraus den Impuls des Elektrons und mit den Formeln der klassischen Mechanik auch seine Geschwindigkeit und seine kinetische Energie bestimmen. Es zeigt sich, dass nur bestimmte Energiewerte E_n im Potentialtopf möglich sind, die sich gut auf atomare Größenordnungen anwenden lassen.
Aufgaben
- Leite her, dass die Energie eines Elektrons durch den Term E_n = \frac{h^2}{8m_e\cdot L^2}\cdot n^2 gegeben ist.
- Rechenbeispiel für ein eindimensionales Atom der Länge L = 1 nm. Bestimme die Energien zu den Quantenzahlen n = 1 bis n = 3 in den Einheiten Joule und eV. Bestimme die Wellenlänge eines Photons, das beim Übergang von der Energiestufe n = 3 auf die Stufe n = 1 emittiert wird.
Der Zufall spielt in vielen quantenmechanischen Vorgängen eine große Rolle. Zum Beispiel ist die Zeitdauer, die ein bestimmtes Elektron im angeregten Zustand verbleibt rein zufällig. Nur der Mittelwert über viele Rekombinationen ergibt eine definierte Zeitspanne.
Ausgehend davon hat Max Born im Jahr 1926 eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation quantenmechanischer Prozesse vorgeschlagen: er erklärte \rho(x) = |\Psi (x) |^2 als die räumliche Dichte für die Wahrscheinlichkeit, ein Quantenobjekt am Ort x zu detektieren. So kann zwar nicht der genaue Aufenthaltsort des Teilchens, wohl aber seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem Intervall um die Stelle x vorhergesagt werden. Im Falle von Elektronen lässt sich |\Psi (x) |^2 auch als Ladungsdichte interpretieren. Max Borns Interpretation ist Teil der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik, die im Jahr 1927 von Niels Bohr und Werner Heisenberg vorgestellt wurde.
In der Wahrscheinlichkeitsinterpretation (rechts) steht \textcolor{#008000}{\rho(x)=| \Psi_n |^2} für die Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons am Ort x . Diese ist in der Abbildung durch die Dichte der grünen Farbe dargestellt. Z.B. für n = 2 hält sich das Elektron nie in der Mitte des Potentialtopfs auf.
- Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens lässt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichte nur für ein Intervall [ a; b] angeben. Dazu musst du über das Intervall integrieren: P(a < x < b) = \int_a^b |\Psi_n (x) |^2 dx . Die Amplitude \hat \Psi_n unserer Wellenfunktion \Psi_n(x) = \hat \Psi_n \cdot \sin(\frac{n\cdot\pi}{L} \cdot x) muss so gewählt werden, dass P(0 < x < L) = \int_0^L |\Psi_n (x) |^2 dx = 1 ist. Begründe diesen Gedanken und bestimme die Amplitude \hat \Psi_n (Tipp: bestimme die Stammfunktion von \sin^2(x) mit der partiellen Integration oder nutze die Formelsammlung).
Ein Cyanin-Molekül bildet eine Kette aus vier Kohlenstoffatomen C, die von zwei Stickstoffatomen N sowie weiteren Molekülresten umgeben ist. In dieser Kette können sich acht Valenzelektronen des Kohlenstoffs annähernd frei bewegen. Der recht komplexe Verlauf der potentiellen Energie jedes Elektrons kann in guter Näherung durch einen Potentialtopf modelliert werden.
Besetzung der Energieniveaus
In dem Farbstoffmoleküle sind mehrere Elektronen im Potentialtopf eingeschlossen. Nach dem Pauli-Prinzip müssen sich Elektronen immer in einer Quantenzahl voneinander unterscheiden. Im Potentialtopf gibt es die Hauptquantenzahl n = { 1; 2; 3; … } und die Spinquantenzahl s = { −½; ½ }. Elektronen – wie auch Protonen und Neutronen – gehören zu den sog. Fermionen, das sind Quantenobjekte mit halbzahligem Spin ±½. Daneben gibt es sog. Bosonen - z.B. Photonen oder Helium-Kerne – mit ganzzahligem Spin. Diese folgen nicht dem Pauliprinzip.
Simuliere hier die Besetzung der Energieniveaus durch die Valenzelektronen der Farbstoffmoleküle im Grundzustand, d.h. mit der niedrigsten möglichen Gesamtenergie.
Resultat: Je zwei der Valenzelektronen besetzen im Grundzustand die Energieniveaus n = 1 bis n = 4.
Versuch
a) Eine Cyaninlösung aus einem Molekül der Länge L = 1,23 nm mit vier Kohlenstoffatomen und b) eine zweite Farbstofflösung aus einem Molekül mit 6 Kohlenstoffatomen werden mit weißem Licht durchstrahlt. Das transmittierte Licht wird jeweils mit einem Spektroskop analysiert.
Auswertung
a) Die Cyaninlösung absorbiert am stärksten bei einer Wellenlänge von ca. 550 nm. Dem transmittierten Licht fehlen grüne Farbanteile und dadurch werden sie von unserem Auge magentafarbig wahrgenommen.
- Bestimme mit der gegeben Länge L = 1,23 nm des Moleküls die Energiewerte zu den Quantenzahlen n = 4 und n = 5 und berechne damit die Wellenlänge des beim Übergang absorbierten Photons.
b) Die zweite Lösung absorbiert im roten Spektralbereich. Diese Lösung erscheint uns bläulich. Auch bei diesem Farbstoff werden immer zwei Energieniveaus von den zwei Valenzelektronen jedes der sechs Kohlenstoffatome besetzt.
- Berechne mit dem Modell die Länge des Farbstoffmoleküls.
13 Kommentare
Kommentieren →Hallo Herr Fuchs,
anbei meine Aufgaben (Abi sowie die im Blog)
Liebe Grüße
Clemens
Hallo Herr Fuchs,
anbei meine Lösungsvorschläge zur Abituraufgabe.
Viele Grüße
Pascal
Grüezi
Hier meine Bearbeitung der Abi Aufgaben
Ina
Meine Ergebnisse
Hallo Herr Fuchs,
Anbei ist meine Bearbeitung der Aufgaben 7–9
Hallo Herr Fuchs,
anbei auch meine Bearbeitung der Aufgaben 1 bis 4.
Viele Grüße
Christine
1–4_Christine
Hallo Herr Fuchs,
anbei meine (überarbeitete) Bearbeitung aller Aufgaben außer 7 sowie meine Bearbeitung der Abi Bayern Aufgabe.
Viele Grüße,
Christine
DerPotentialtopf_Christine
Hallo Herr Fuchs,
im Anhang finden Sie meine Lösungen, allerdings bin ich mir nicht sicher ob es richtig bzw. vollständig ist
Viele Grüße,
Irina
Linearer Potentialtopf
Nochmal hallo, ich habe die Aufgabe neu gerechnet und im Anhang finden Sie meine neue Lösung
Linearer Potentialtopf neu
Hallo Herr Fuchs,
anbei auch meine Ergebnisse zu 1–4.
Viele Grüße
Pascal
Halli hallo,
Hier sind Aufgabe 1–4.
Drei und vier sind bei mir irgendwie das selbe geworden.
MfG
Ina Hu
Ina_Hu_Potentialtopf_1‑4
Dankeschön. Es ergibt Sinn, A3 und 4 zusammen zu bearbeiten.
Noch ein Hinweis, deine Abbildungen liegt auf der Seite. Kannst du sie nochmals aufrecht senden, am besten als .jpg? Dann kann man auch ein Preview sehen.
Klar doch.