Der lineare Potentialtopf

Der lineare Poten­ti­al­topf bzw. syn­onym Poten­ti­al­kas­ten ist ein stark ver­ein­fa­chen­des Modell der Bewe­gung von Elek­tro­nen. Den­noch ist die­ses Modell gut geeig­net, die Beschrei­bung der Ener­gie­stu­fen eines Elek­trons durch Wel­len­funk­tio­nen anschau­lich und bere­chen­bar zu machen. 

Zudem lässt sich das Modell nut­zen, um Absorp­tio­nen in lan­ge­streck­ten Farb­stoff­mo­le­kü­len nähe­rungs­weise zu berechnen.

Ein ein­zel­nes Elek­tron bewegt sich in einem linea­ren Draht der Länge L. Im Inne­ren des Drahts kann sich das Elek­tron kräf­te­frei hin- und her­be­we­gen, es kann den Draht aber nicht verlassen. 

Diese Situa­tion model­lie­ren wir durch einen sog. Poten­ti­al­topf der Länge L. Im Inne­ren des Topfs ist die poten­ti­elle Ener­gie gleich Null. Das Elek­tron bewegt sich im Poten­ti­al­topf und besitzt als ein­zige Ener­gie­form die kine­ti­sche Ener­gie. Die Wände des Topfs sind unend­lich hoch. Daher könnte das Elek­tron nur dann aus dem Poten­ti­al­topf ent­kom­men, wenn es eine unend­lich hohe kine­ti­sche Ener­gie hätte.

Im Teil­chen­mo­dell würde das schwin­gende Elek­tron eine Dipol­strah­lung aus­sen­den und seine Ener­gie in kur­zer Zeit ver­lie­ren. Daher model­lie­ren wir die Bewe­gung des Elek­trons durch eine Wel­len­funk­tion \Psi_n(x), \ n = 1, 2, 3, \dots , deren genaue Gestallt von der Quan­ten­zahl \bf n abhängt. Dabei sol­len alle Wel­len­funk­tio­nen die Rand­be­din­gung \Psi_n(0) = \Psi_n(L) = 0 erfül­len. Es bil­den sich somit wie bei einer schwin­gen­den Gitar­ren­saite ste­hende Wel­len in dem Poten­ti­al­topf heraus.

Ein Elek­tron bewegt sich im Teil­chen­mo­dell frei in einem Metall­draht der Länge L. Wir model­lie­ren diese Situa­tion im Wel­len­mo­dell durch Wel­len­funk­tio­nen \color{blue} \Psi_n(x), \ n = 1, 2, 3, \dots im Poten­ti­al­topf mit unend­lich hohen Wän­den.
Vie­len Dank an Prof. Heus­ler von der Uni Müns­ter für die schö­nen Videos auf quantenspiegelungen.de

Auf­ga­ben

  1. Skiz­ziere das Modell des Poten­ti­al­topfs im Heft. Ergänze noch eine wei­tere ste­hende Welle für die Quan­ten­zahl n = 4 .
  2. Begründe, warum nur bestimmte Wel­len in dem Poten­ti­al­topf exis­tie­ren können.
  3. Zeige, dass die Funk­tio­nen­schar \Psi_n(x) = \hat \Psi_n\cdot \sin(k_n\cdot x) geeig­net ist, die ste­hen­den Wel­len im Poten­ti­al­topf zu beschreiben. 
  4. k_n wird auch als Wel­len­zahl bezeich­net. Leite einen Term her, der die Wel­len­zahl abhän­gig von der Quan­ten­zahl n und der Länge des Topfs beschreibt. Bestimme eben­falls einen Term für die zuge­hö­rige Wel­len­länge \lambda_n .

Zu jeder Wel­len­funk­tion \Psi_n(x) gehört eine Wel­len­länge \lambda_n . Nach de Bro­glie kannst du dar­aus den Impuls des Elek­trons und mit den For­meln der klas­si­schen Mecha­nik auch seine Geschwin­dig­keit und seine kine­ti­sche Ener­gie bestim­men. Es zeigt sich, dass nur bestimmte Ener­gie­werte E_n im Poten­ti­al­topf mög­lich sind, die sich gut auf ato­mare Grö­ßen­ord­nun­gen anwen­den lassen.

Auf­ga­ben

  1. Leite her, dass die Ener­gie eines Elek­trons durch den Term E_n = \frac{h^2}{8m_e\cdot L^2}\cdot n^2 gege­ben ist. 
  2. Rechen­bei­spiel für ein ein­di­men­sio­na­les Atom der Länge L = 1 nm. Bestimme die Ener­gien zu den Quan­ten­zah­len n = 1 bis n = 3 in den Ein­hei­ten Joule und eV. Bestimme die Wel­len­länge eines Pho­tons, das beim Über­gang von der Ener­gie­stufe n = 3 auf die Stufe n = 1 emit­tiert wird.

Der Zufall spielt in vie­len quan­ten­me­cha­ni­schen Vor­gän­gen eine große Rolle. Zum Bei­spiel ist die Zeit­dauer, die ein bestimm­tes Elek­tron im ange­reg­ten Zustand ver­bleibt rein zufäl­lig. Nur der Mit­tel­wert über viele Rekom­bi­na­tio­nen ergibt eine defi­nierte Zeitspanne. 

Aus­ge­hend davon hat Max Born im Jahr 1926 eine Wahr­schein­lich­keits­in­ter­pre­ta­tion quan­ten­me­cha­ni­scher Pro­zesse vor­ge­schla­gen: er erklärte \rho(x) = |\Psi (x) |^2 als die räum­li­che Dichte für die Wahr­schein­lich­keit, ein Quan­ten­ob­jekt am Ort  x zu detek­tie­ren. So kann zwar nicht der genaue Auf­ent­halts­ort des Teil­chens, wohl aber seine Auf­ent­halts­wahr­schein­lich­keit in einem Inter­vall um die Stelle x vor­her­ge­sagt wer­den. Im Falle von Elek­tro­nen lässt sich |\Psi (x) |^2 auch als Ladungs­dichte inter­pre­tie­ren. Max Borns Inter­pre­ta­tion ist Teil der Kopen­ha­ge­ner Deu­tung der Quan­ten­me­cha­nik, die im Jahr 1927 von Niels Bohr und Wer­ner Hei­sen­berg vor­ge­stellt wurde.

Im Wel­len­bild (links) bil­den sich ste­hende Wel­len \textcolor{#0000ff}{\Psi_n} im Poten­ti­al­topf her­aus.
In der Wahr­schein­lich­keits­in­ter­pre­ta­tion (rechts) steht \textcolor{#008000}{\rho(x)=| \Psi_n |^2} für die Dichte der Auf­ent­halts­wahr­schein­lich­keit eines Elek­trons am Ort x . Diese ist in der Abbil­dung durch die Dichte der grü­nen Farbe dar­ge­stellt. Z.B. für n = 2 hält sich das Elek­tron nie in der Mitte des Poten­ti­al­topfs auf.
  1. Die Auf­ent­halts­wahr­schein­lich­keit eines Teil­chens lässt sich aus der Wahr­schein­lich­keits­dichte nur für ein Inter­vall [ a; b] ange­ben. Dazu musst du über das Inter­vall inte­grie­ren: P(a < x < b) = \int_a^b |\Psi_n (x) |^2 dx . Die Ampli­tude \hat \Psi_n unse­rer Wel­len­funk­tion \Psi_n(x) = \hat \Psi_n \cdot \sin(\frac{n\cdot\pi}{L} \cdot x) muss so gewählt wer­den, dass P(0 < x < L) = \int_0^L |\Psi_n (x) |^2 dx = 1 ist. Begründe die­sen Gedan­ken und bestimme die Ampli­tude \hat \Psi_n (Tipp: bestimme die Stamm­funk­tion von \sin^2(x) mit der par­ti­el­len Inte­gra­tion oder nutze die Formelsammlung).
Vie­len Dank an die Uni­ver­sity of St Andrews für Simu­la­tion und Chal­len­ges. Hin­weis: L2 steht hier für die Länge L. Akti­viere die Dis­play Con­trols Pro­ba­bi­lity den­sity graph und Pro­ba­bi­lity region

Ein Cya­nin-Mole­kül bil­det eine Kette aus vier Koh­len­stoff­ato­men C, die von zwei Stick­stoff­ato­men N sowie wei­te­ren Mole­kül­res­ten umge­ben ist. In die­ser Kette kön­nen sich acht Valenz­elek­tro­nen des Koh­len­stoffs annä­hernd frei bewe­gen. Der recht kom­plexe Ver­lauf der poten­ti­el­len Ener­gie jedes Elek­trons kann in guter Nähe­rung durch einen Poten­ti­al­topf model­liert werden.

Im gel­ben Bereich des Cya­nin-Mole­küls sind 8 Valenz­elek­tro­nen der vier Koh­len­stoff­atome frei beweg­lich. Der Ver­lauf der poten­ti­el­len Ener­gie für ein Elek­tron wird durch einen Poten­ti­al­topf der Länge L model­liert. Durch Absorp­tion eines Pho­tons wird ein Elek­tron ange­regt. Hin­weis: Die Ener­gie­ni­veaus n = 1 und n = 2 sind nicht abgebildet.

Beset­zung der Energieniveaus

In dem Farb­stoff­mo­le­küle sind meh­rere Elek­tro­nen im Poten­ti­al­topf ein­ge­schlos­sen. Nach dem Pauli-Prin­zip müs­sen sich Elek­tro­nen immer in einer Quan­ten­zahl von­ein­an­der unter­schei­den. Im Poten­ti­al­topf gibt es die Haupt­quan­ten­zahl n = { 1; 2; 3; … } und die Spin­quan­ten­zahl s = { −½; ½ }. Elek­tro­nen – wie auch Pro­to­nen und Neu­tro­nen – gehö­ren zu den sog. Fer­mio­nen, das sind Quan­ten­ob­jekte mit halb­zah­li­gem Spin ±½. Dane­ben gibt es sog. Boso­nen - z.B. Pho­to­nen oder Helium-Kerne – mit ganz­zah­li­gem Spin. Diese fol­gen nicht dem Pauliprinzip. 

Simu­liere hier die Beset­zung der Ener­gie­ni­veaus durch die Valenz­elek­tro­nen der Farb­stoff­mo­le­küle im Grund­zu­stand, d.h. mit der nied­rigs­ten mög­li­chen Gesamtenergie.

Resul­tat: Je zwei der Valenz­elek­tro­nen beset­zen im Grund­zu­stand die Ener­gie­ni­veaus n = 1 bis n = 4.

Ver­such

a) Eine Cya­nin­lö­sung aus einem Mole­kül der Länge L = 1,23 nm mit vier Koh­len­stoff­ato­men und b) eine zweite Farb­stoff­lö­sung aus einem Mole­kül mit 6 Koh­len­stoff­ato­men wer­den mit wei­ßem Licht durch­strahlt. Das trans­mit­tierte Licht wird jeweils mit einem Spek­tro­skop analysiert. 

Trans­mis­si­onspek­tren zweier Cya­nin­lö­sun­gen. a) 4 C‑Atome, b) 6 C‑Atome.

Aus­wer­tung

a) Die Cya­nin­lö­sung absor­biert am stärks­ten bei einer Wel­len­länge von ca. 550 nm. Dem trans­mit­tier­ten Licht feh­len grüne Farb­an­teile und dadurch wer­den sie von unse­rem Auge magen­ta­far­big wahrgenommen. 

  1. Bestimme mit der gege­ben Länge L = 1,23 nm des Mole­küls die Ener­gie­werte zu den Quan­ten­zah­len n = 4 und n = 5 und berechne damit die Wel­len­länge des beim Über­gang absor­bier­ten Photons.

b) Die zweite Lösung absor­biert im roten Spek­tral­be­reich. Diese Lösung erscheint uns bläu­lich. Auch bei die­sem Farb­stoff wer­den immer zwei Ener­gie­ni­veaus von den zwei Valenz­elek­tro­nen jedes der sechs Koh­len­stoff­atome besetzt.

  1. Berechne mit dem Modell die Länge des Farbstoffmoleküls.

Wei­tere Aufgabe

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13 Kommentare

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Dan­ke­schön. Es ergibt Sinn, A3 und 4 zusam­men zu bearbeiten.

Noch ein Hin­weis, deine Abbil­dun­gen liegt auf der Seite. Kannst du sie noch­mals auf­recht sen­den, am bes­ten als .jpg? Dann kann man auch ein Pre­view sehen.

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