Der Haupt­satz der Integralrechnung

Wir defi­nie­ren den Begriff des Inte­grals als Grenz­wert von Ober- und Untersumme.

Der Haupt­satz begrün­det den Zusam­men­hang zwi­schen der soge­nann­ten Stamm­funk­tion und dem Flä­chen­in­halt unter einem Funktionsgraphen.

Das Rie­mann-Inte­gral

Das heu­tige Ver­ständ­nis der Inte­gral­rech­nung geht auf die Arbei­ten von Georg Fried­rich Bern­hard Rie­mann (* 17. Sep­tem­ber 1826; † 20. Juli 1866.

Rie­mann hat den unbe­kann­ten Flä­chen­in­halt, den die Funk­tion f(x) im Inter­vall \left[ a,b \right] mit der x‑Achse ein­schließt durch eine Anzahl von n Recht­ecken ange­nä­hert, die den Funk­ti­ons­gra­phen ent­we­der von unten oder von oben berüh­ren. Die Flä­chen­in­halte die­ser Recht­ecke las­sen sich ein­fach berech­nen, denn ihre Höhe ist durch den Funk­ti­ons­wert gege­ben und ihre Breite ist die Breite des Inter­valls divi­diert durch die Anzahl n der Rechtecke.

Die Flä­chen­summe der Recht­ecke, die den Funk­ti­ons­gra­phen von unten berüh­ren hat Rie­mann als Unter­summe \underline{S}_n bezeich­net. Ent­spre­chend hat er die Flä­chen­summe der Recht­ecke, die den Gra­phen von oben berüh­ren als Ober­summe \overline{S}_n bezeichnet. 

In der Abbil­dung wird die Flä­che, die vom Funk­ti­ons­graph und der x‑Achse ein­ge­schlos­sen ist, durch n=6 Recht­ecke ange­nä­hert. Bewege den Schieberegler.

Übungs­auf­gabe 1

Zeichne die Funk­tion f(x)=x^2-2x+2 im Heft und nähere den Flä­chen­in­halt, der im Inter­vall \left[ a=1, b=2 \right] ein­ge­schlos­sen wird durch n=4 Recht­ecke an. Berechne zu Fuß jeweils die Ober- und Unter­summe sowie deren Mittelwert.

Die Ober- und Unter­summe besteht jeweils aus vier Recht­ecken der sel­ben Breite b=\frac{a-b}{4}=\frac {2-1}4=\frac 14 .

Im Fall der Unter­summe \underline S_n las­sen sich die Höhen der vier Recht­ecke jeweils an den Stel­len x=\{ 1; 1{,}25; 1{,}5; 1{,}75\} berech­nen. Somit ist \underline S_n=\frac{1}{4}\left( f(1)+f(1{,}25)+f(1{,}5)+f(1{,}75) \right)=\frac{1}{4}\left( 1+1{,}0625+1{,}25+1{,}5625 \right)=\frac{39}{32} .

Im Fall der Ober­summe \overline S_n berech­nen wir die Höhen jeweils an den Stel­len x=\{ 1{,}25; 1{,}5; 1{,}75; 2\} also um eine Posi­tion nach rechts ver­scho­ben. Somit ist \overline S_n=\frac{1}{4}\left( f(1{,}25)+f(1{,}5)+f(1{,}75)+f(2) \right)=\frac{1}{4}\left( 1{,}0625+1{,}25+1{,}5625+2 \right)=\frac{47}{32} .

Der Mit­tel­wert beträgt \frac{\overline S_n + \underline S_n} 2=\frac{\frac{47}{23}+\frac{39}{32}} 2=\frac{43}{32} \approx 1{,}32 [FE].

Übungs­auf­gabe 2

Bestimme einen genaue­ren Wert für den Flä­chen­in­halt mit der Ani­ma­tion oben im Bild.

Defi­ni­tion des Inte­grals nach Riemann

Der Mit­tel­wert von Ober­summe und Unter­summe stimmt immer bes­ser mit der gesuch­ten Flä­che über­ein, wenn die Anzahl n der Recht­ecke immer grö­ßer wird. Wir defi­nie­ren somit das Inte­gral als Grenzwert:

Hin­weise

  • Im Grenz­wert sind die Ober­summe und die Unter­summe gleich groß.
  • Das Sym­bol \int für das Inte­gral hat sich im Laufe vie­ler Jahre aus dem Buch­sta­ben S wie Summe ent­wi­ckelt.
  • Das dx deu­tet an, dass die Recht­ecke in der Ober- und Unter­summe eine infi­ni­te­si­mal geringe Breite haben. Es ist inter­na­tio­nal üblich, das dx zu schrei­ben. Es hat zudem eine klam­mernde Funk­tion und bestimmt, wo der Inte­gral­term endet. 
  • Wir wol­len Inte­grale immer mit dem dx abschlie­ßen.

Der Haupt­satz der Integralrechnung

Hin­weise

  • Häu­fig wird die Stamm­funk­tion auch als Auf­lei­tung der Funk­tion f(x) bezeichnet. 
  • Die Bestim­mung der Stamm­funk­tion ist eine der zen­tra­len Auf­ga­ben der Integralrechnung.

Der Haupt­satz der Dif­fe­ren­tial- und Integralrechnung

Bei­spiel

Wir berech­nen den Flä­chen­in­halt der Funk­tion f(x)=x^2-2x+2 im Inter­vall \left[ 1; 2 \right] :

A=\int_1^2x^2-2x+2\ dx=\\
\left[\frac{1}{3}x^3-x^2+2x\right]_1^2=\\[5pt]
\frac{1}{3}2^3-2^2+2\cdot 2\\[5pt]-
\left(\frac{1}{3}1^3-1^2+2\cdot 1\right)=\frac43
  • Doku­men­ta­tion: Notiere immer die Stamm­funk­tion in den ecki­gen Klammern.
  • Tipp: Machen die Probe und über­zeuge dich, dass die Ablei­tung der Funk­tion in der ecki­gen Klam­mer tat­säch­lich gleich der Aus­gangs­funk­tion ist. 

Übungs­auf­gabe 3

Berechne die Flä­chen­in­halte aus den Ein­stiegs­auf­ga­ben Sil­ves­ter­ra­kete und Regen­rück­hal­te­be­cken, die von einem gekrümm­ten Funk­ti­ons­gra­phen ein­ge­schlos­sen wer­den, mit dem Hauptsatz.

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