Das Zer­falls­ge­setz

In die­sem Bei­trag wol­len wir das Zer­falls­ge­setz ken­nen­ler­nen und damit die Begriffe Halb­werts­zeit und Akti­vi­tät defi­nie­ren.

Das Zer­falls­ge­setz

Radio­ak­tive Kerne zer­fal­len gemäß einem expo­nen­ti­el­len Zer­falls­ge­setz

\displaystyle{N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda t}}

Dabei bedeu­ten
N(t) : Die Zahl der Kerne zur Zeit t ,
N_0 = N(0): Die Anfangs­zahl der Kerne,
\lambda >0 : Die Zer­falls­kon­stante gemes­sen in Hz. 

Die Halb­werts­zeit

Ein typi­sches Merk­mal des expo­nen­ti­el­len Zer­falls ist, dass die Halb­werts­zeit t_{½} unab­hän­gig von der Anfangs­menge eine Kon­stante ist. Es besteht ein Zusam­men­hang zwi­schen der Halb­werts­zeit und der Zerfallskonstante:

\lambda\cdot t_{½}=\ln(2)\Leftrightarrow \\[5pt]
t_{½}=\frac{\ln(2)}{\lambda} \Leftrightarrow \\[5pt]
\lambda=\frac{\ln(2)}{t_{½}}  

Mit der Halb­werts­zeit t_{½} lässt sich das Zer­falls­ge­setz auch so formulieren:

\boxed{N(t) = N_0\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{t_{½}}\cdot t}}

Die Akti­vi­tät

Akti­viät

Unter der Akti­vi­tät einer radio­ak­ti­ven Probe ver­steht man die zeit­li­che Ände­rungs­rate der radio­ak­ti­ven Kerne.

\displaystyle{A(t) = - \dot N(t) = \lambda\cdot N(t)}

Beim radio­ak­ti­ven Zer­fall ist die Ände­rungs­rate stets nega­tiv, die Akti­vi­tät wird jedoch posi­tiv ange­ge­ben und in der Ein­heit Bec­que­rel (1 Bq ) gemes­sen. Dabei bedeu­tet 1 Bq ein Zer­fall pro Sekunde.

Auf­ga­ben

1. Leite den Zusam­men­hang zwi­schen der Halb­werts­zeit t_{½} und der Zer­falls­kon­stante \lambda aus dem Zer­falls­ge­setz all­ge­mein her.
2. Bei dem Rechen­bei­spiel zum K‑40-Zer­fall im mensch­li­chen Kör­per haben wir nicht die aktu­elle Akti­vi­tät bestimmt, son­dern die durch­schnitt­li­che Akti­vi­tät wäh­rend einer Halb­werts­zeit. Die­ser Wert ist gerin­ger als die aktu­elle Akti­vi­tät. Bestimme die aktu­elle Akti­vi­tät A(t=0) für den Durch­schnitts­men­schen (oder dein eige­nes Gewicht) und ver­glei­che mit der durch­schnitt­li­chen Akti­vi­tät. Tipp: Bestimme die Zer­falls­kon­stante \lambda .
3. Bestimme auch beim Fall Lit­wi­nenko die die aktu­elle Akti­vi­tät und dar­aus die Belas­tung in Gy und Sv.
4. Bear­beite die Aufgabe