Das Trans­for­ma­tor­prin­zip

Die Lenz­sche Regel hilft uns zu ver­ste­hen, warum in einem unbe­las­te­ten Trans­for­ma­tor nur eine geringe Strom­stärke zu mes­sen ist und wie die Span­nun­gen und die Strom­stär­ken von den Win­dungs­zah­len der Spu­len abhängen.

Der Hörner­trans­for­ma­tor

Die cha­rak­te­ris­ti­sche Form der Kon­takte hat dem Hörner­trans­for­ma­tor sei­nen Namen gege­ben. An der engs­ten Stelle der Kon­takte ent­steht eine sehr hohe elek­tri­sche Feld­stärke. In der umge­ben­den Luft bil­det sich ein elek­trisch leit­fä­hi­ges Gas – ein sog. Plasma – aus ioni­sier­ten Luft­mo­le­kü­len aus. Die­sen Effekt nennt man auch Fun­ken­ent­la­dung. Durch Kon­vek­tion wird das Plasma in die Höhe getra­gen und es bil­det sich ein Licht­bo­gen aus. Ach­tung: Es ent­steht eine lebens­ge­fähr­li­che Hochspannung.
Prin­zip eines Trans­for­ma­tors mit den benö­tig­ten Fach­be­grif­fen.
Bild­quelle: BillCOme­ga­tronHer­bert­weid­ner (Ger­man text, see de:Bild:Trafo 1.png)

Auf­ga­ben

  1. Über­nimm die Prin­zip­zeich­nung in dein Heft und ver­giss nicht die Fachbegriffe.
  1. Schaue das Video von A. Wendt an und beant­worte fol­gende Fra­gen schriftlich:
    1. Warum ist die Pri­mär­strom­stärke im unbe­las­te­ten Trans­for­ma­tor sehr gering?
    2. Begründe die For­mel für die Leer­lauf­span­nun­gen \dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{N_1}{N_2} .
    3. Begründe die For­mel für die Strom­stär­ken \dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{N_2}{N_1} .
    4. Notiere eine Merk­box für den idea­len Trans­for­ma­tor, die auf die Span­nun­gen, die Strom­stär­ken, die Win­dungs­zah­len und die Pri­mär- und Sekun­där­leis­tung eingeht.
    5. Bestimme die Span­nung U_2 , die am Hörner­trans­for­ma­tor maxi­mal ent­ste­hen kann:
      U_1 = 240V, N_1= 500, N_2= 23.000.

Pha­sen­ver­schie­bung

Die Vor­stel­lung, dass in dem unbe­las­te­ten Trans­for­ma­tor kein Strom fließt ist nicht ganz rich­tig. Denn fließt kein Strom durch den Pri­mär­kreis, gibt es auch kei­nen magne­ti­schen Fluss und somit keine Sekun­där­span­nung. Wie kommt es aber, dass im idea­len Trans­for­ma­tor ein Strom­fluss im Pri­mär­kreis gemes­sen wird, aber den­noch keine elek­tri­sche Leis­tung umge­setzt wird? Fol­gen­des Video geht die­ser Frage auf den Grund:

In die­sem Video wer­den Pri­mär­span­nung und ‑Strom mit dem Index p und Sekun­där­span­nung und ‑Strom ent­spre­chend mit dem Index s bezeichnet.
  1. Beschreibe in eige­nen Wor­ten den Begriff Pha­sen­ver­schie­bung (igno­riere den Ein­schwing­vor­gang im Video von Minute 6:35 bis 9:08) und begründe die fol­gende Merkregel:
Ideale Spule an einer Wech­sel­span­nung. Dar­ge­stellt sind die Ver­läufe von Strom und Span­nung im Zei­ger- und Lini­en­dia­gramm. Die Strom­stärke i(t) hinkt der Span­nung u(t) um 90° oder T/4 hinterher. 
  1. Nur LK: Gehe von fol­gen­dem Ansatz mit \omega = 1 Hz aus:
    u(t) = \hat u\cdot \cos(t) ,
    i(t) = \hat i\cdot \sin(t)
    berechne die Leis­tung durch das Inte­gral
    \int_0^{2\pi} i(t)\cdot u(t) dt
    Tipp: Das geht mit der par­ti­el­len Inte­gra­tion oder durch „Erra­ten”.

Für die belie­bige Wech­sel­span­nung u(t)=\hat u\cdot \cos(\omega t) erhal­ten wir für die Leistung:

P(t)=\frac{\hat u^2}{\omega L} \cdot \sin(\omega t)\cdot \cos(\omega t)

Wir ver­glei­chen die Ampli­tude \frac{\hat u^2}{\omega L} der Leis­tung im Wech­sel­strom­kreis mit der Leis­tung P= \frac{U^2}{R} eines Wider­stan­des, der an eine Gleich­span­nung ange­schlos­sen ist. Auch hier ist die Leis­tung pro­por­tio­nal zum Qua­drat der Span­nung und wir kön­nen den Wider­stand R ver­glei­chen mit der sog. Impe­danz der Spule.

Bei­spiel unbe­las­te­ter idea­ler Transformator

Gege­ben ist eine Wech­sel­span­nung u(t)=\hat u \cdot \cos(\omega t) mit U_{eff}=10 V und der Fre­quenz f = 50 Hz. Die Pri­mär­seite des Trans­for­ma­tors hat eine Induk­ti­vi­tät von L = 10 mH:

Wech­sel­span­nung u(t) mit Ueff = 10V, Wech­sel­strom i(t) und Leis­tung P(t). Die hell­vio­lette Flä­che ist ein Maß für die elek­tri­sche Ener­gie E, die inner­halb der Peri­ode T = 20 ms auf die Induk­ti­vi­tät L = 10 mH über­tra­gen wird. Die Pha­sen­ver­schie­bung zwi­schen Strom und Span­nung beträgt \varphi = \frac{\pi}{2} = 90° .
  1. Nur LK: Berechne die zeit­ab­hän­gige Strom­stärke i(t) und die Leis­tung P(t). Weise nach, dass im Zeit­raum T einer Peri­ode 0 J elek­tri­sche Ener­gie umge­wan­delt wird. 
  2. Begründe den Umstand, dass im Mit­tel keine Ener­gie in der Spule umge­setzt wird, auch in Wor­ten. Gehe dabei auch auf die Pha­sen nega­ti­ver Leis­tung P(t) ein. Erläu­tere den Unter­schied zu dem Bei­spiel im Bei­trag Ener­gie­über­tra­gung mit Gleich- und Wech­sel­span­nung hier im Blog.

Bei­spiel belas­te­ter idea­ler Transformator

Gege­ben ist wie­der eine Wech­sel­span­nung u(t)=\hat u \cdot \cos(\omega t) mit U_{eff}=10 V und der Fre­quenz f = 50 Hz. Die Pri­mär- und die Sekun­där­seite des Trans­for­ma­tors haben die selbe Win­dungs­zahl und die selbe Induk­ti­vi­tät von jeweils L = 10 mH. Die Sekun­där­seite wird mit einem ohm­schen Wider­stand von 10Ω belastet. 

Wech­sel­span­nung u(t) mit Ueff = 10V, Wech­sel­strom i(t) und Leis­tung P(t). Die hell­vio­lette Flä­che ist ein Maß für die elek­tri­sche Ener­gie E, die inner­halb der Peri­ode T = 20 ms auf den Trans­for­ma­tor über­tra­gen wird. Die Pha­sen­ver­schie­bung zwi­schen Strom und Span­nung beträgt nicht mehr \varphi = \frac{\pi}{2} = 90° .
  1. Beschreibe in Wor­ten, wie sich die Belas­tung des Trans­for­ma­tors auf den Fluss im Trans­for­ma­tor auswirkt. 

Infolge der Fluss­än­de­rung wird auch das Gleich­ge­wicht U_1+U_{ind}=0 \Rightarrow U_1=L\cdot \dot I im Pri­mär­kreis gestört. Der Trans­for­ma­tor gleicht diese Stö­rung aus, indem sich die Strom­stärke und die Pha­sen­ver­schie­bung zwi­schen Strom­stärke und Span­nung im Pri­mär­kreis neu einstellen.

  1. Beschreibe, wel­che Aus­wir­kun­gen die Belas­tung des Trans­for­ma­tors hat. Gehe dabei auf die Ampli­tude \hat i_1 , die Pha­sen­ver­schie­bung \varphi und die durch­schnitt­li­che Leis­tung ein. Ver­glei­che mit dem unbe­las­te­ten Trans­for­ma­tor. Hin­weis: Rech­nun­gen wer­den hier nicht erwartet.

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15 Kommentare

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Hallo Herr Fuchs,
anbei fin­den Sie mei­nen Lösungs­ver­such zu den Auf­ga­ben 7 und 8.
Viele Grüße
San­dro Cardeneo

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