Das Quan­ten­me­cha­ni­sche Modell des Wasserstoffatoms

Der Poten­ti­alt­rich­ter des Was­ser­stoff­atoms in zwei­di­men­sio­na­ler Projektion

Die Beschrei­bung des Was­ser­stoff­atoms mit Wel­len­funk­tio­nen wird durch zwei Aspekte erschwert. Zum einen ist der Poten­ti­alt­rich­ter des Was­ser­stoff­atoms nicht so ein­fach auf­ge­baut, wie der des linea­ren Poten­ti­al­top­fes: Die poten­ti­elle Ener­gie muss beim Was­ser­stoff stets mit­be­rück­sich­tigt wer­den, denn sie ist ungleich Null. Zum ande­ren erstreckt sich der Poten­ti­alt­rich­ter des Was­ser­stoff­atoms über drei Dimen­sio­nen: Daher haben die Wel­len­funk­tio­nen mehr Frei­heits­grade und wir benö­ti­gen wei­tere Quan­ten­zah­len zu ihrer Beschreibung.

Linea­rer Poten­ti­al­topf und Poten­ti­alt­rich­ter des Was­ser­stoffs im Vergleich

Im Was­ser­stoff­atom steht das Elek­tron durch den posi­tiv gela­de­nen Atom­kern stän­dig unter dem Ein­fluss der Cou­lombkraft. Abhän­gig von sei­nem Abstand r besitzt das Elek­tron die nega­tive poten­ti­elle Energie:

E_{pot}=\frac {-e^2}{4\pi \varepsilon _0}\cdot \frac{1}{r}.

Im Grund­zu­stand beträgt die Ener­gie des Elek­trons ca. ‑13,6 eV. Dane­ben kann es wei­tere dis­krete aber nega­tive Ener­gie­werte abhän­gig von der Quan­ten­zahl n anneh­men. Der Null­punkt der poten­ti­el­len Ener­gie wird erreicht, wenn sich das Elek­tron aus dem Ein­fluss­be­reich des Kerns ent­fernt, d.h. das Atom wird ioni­siert. Posi­tive Ener­gie­werte bedeu­ten, dass das Elek­tron außer­halb des Kerns eine kine­ti­sche Ener­gie auf­ge­nom­men hat.

Die Wel­len­funk­tion \Psi(r) des Elek­trons in Abhän­gig­keit von sei­nem Kern­ab­stand r ergibt sich als Lösung der Schrö­din­ger­glei­chung mit der Rand­be­din­gung \lim_{r\rightarrow\infty}\Psi(r)=0 . Wir wol­len auf die mathe­ma­ti­sche Behand­lung ver­zich­ten und uns den­noch mit Hilfe der schö­nen Simu­la­ti­ons-App von Tho­mas Kip­pen­berg mit dem sog. Radi­al­an­teil der Wel­len­funk­tion beschäftigen. 

Auf­gabe

  1. Beschreibe den Ver­lauf des Poten­ti­alt­rich­ters des Was­ser­stoff­atoms schrift­lich im Heft und stelle Unter­schiede und Gemein­sam­kei­ten zum linea­ren Poten­ti­al­topf dar.
  2. Starte die App zur Schrö­din­ger­glei­chung. Wähle die Option Cou­lomb-Poten­tial Was­ser­stoff und stelle drei ver­schie­dene Ener­gie­werte so ein, dass die Rand­be­din­gung mög­lichst genau erfüllt ist. Mit Zustand spei­chern kannst du sie fixie­ren. Skiz­ziere die Gra­phik mit den Ver­läu­fen von \Psi(r) und |Psi(r)|^2 im Heft.
  3. Begründe, warum die Rand­be­din­gung erfüllt wer­den muss.

Die Orbi­tale in der Hauptquantenzahl

Merke: Die Haupt­quan­ten­zahl n beschreibt das Haupt-Ener­gie­ni­veau eines Elek­trons im Was­ser­stoff­atom. Sie kann belie­bige natür­li­che Zah­len­wer­ten n = 1, 2, 3, … anneh­men. Zu jeder Haupt­quan­ten­zahl n gehört eine Wel­len­funk­tion \Psi_n(r), die mit ihrem Betrags­qua­drat die Wahr­schein­lich­keit­dichte für die Auf­ent­halts­wahr­schein­lich­keit \rho_n(r) = |\Psi_n(r)|^2 der Elek­tro­nen defi­nie­ren. Diese kugel­för­mi­gen Raum­be­rei­che wer­den als Orbi­tale bezeich­net. Sie sind das quan­ten­me­cha­ni­sche Gegen­stück zu den Bah­nen im Bohr­schen Atommodell.

In der Che­mie wer­den Orbi­tale auch als Scha­len bezeich­net und der Reihe nach mit den Buch­sta­ben K‑,L‑,M‑,N- num­me­riert. Elek­tro­nen in der K‑Schale befin­den sich im Mit­tel dich­ter am Atom­kern als Elek­tro­nen in der L‑Schale. L‑Scha­len-Elek­tro­nen wie­derum sind im Mit­tel näher am Atom­kern als M‑Scha­len-Elek­tro­nen usw. 

Dar­stel­lung der Orbi­tale in den Haupt­quan­ten­zah­len n = 1, 2 und 3. Oben: Zwei­di­men­sio­nale Dar­stel­lung der Wahr­schein­lich­keits­dichte \rho_n(r) = |\Psi_n(r)|^2 . Unten: Räum­li­che Dar­stel­lung der Orbi­tale. Kugeln geben Raum­be­rei­che an, in denen sich ein Elek­tron mit einer Wahr­schein­lich­keit von 95% aufhält.

Die Wel­len­funk­tion im Modell einer schwin­gen­den Membran

Fol­gende Videos vom Mole­ku­la­rium zei­gen den Radi­al­teil von Wel­len­funk­tio­nen auf einer schwin­gen­den Mem­bran zu den bei­den Haupt­quan­ten­zah­len n = 1 und n = 2. Diese kön­nen als zwei­di­men­sio­nale Pro­jek­tion der drei­di­men­sio­na­len Wel­len­funk­tion des Was­ser­stoffs auf­ge­fasst werden. 

Die Mem­bran schwingt mit n = 1 und l = 0
Die Mem­bran schwingt mit n = 2 und l = 0

Merke: Die Orbi­tale ent­zie­hen sich einer direk­ten Beob­ach­tung, sie sind ein mathe­ma­ti­sches Modell der Wel­len­funk­tion. Die Neben­quan­ten­zahl ℓ beein­flusst jedoch die Ener­gie­struk­tur von Ato­men mit mehr als einem Elek­tron, die als Fein­struk­tur in den Spek­tren beob­acht­bar ist. Die For­men der Orbi­tale bestim­men in maß­geb­li­cher Weise die Natur der che­mi­schen Bin­dung.

Die Neben­quan­ten­zahl ℓ gilt immer 0 ≤ ℓ < n. Sie nimmt, wie auch die Haupt­quan­ten­zahl n, nur nicht-nega­tive ganz­zah­lige Werte ℓ = 0, 1, 2, 3, … n – 1 an. 

Die Neben­quan­ten­zahl ℓ wird auch Dreh­im­puls­quan­ten­zahl oder Bahn­dreh­im­puls­quan­ten­zahl genannt. In vie­len Text­bü­chern wird der Wert von ℓ oft durch bestimmte, his­to­risch fest­ge­legte Buch­sta­ben gekennzeichnet:

  • s für ℓ = 0 (ursprüng­lich für ‚scharf‘, z. B. „s-Zustand“)
  • p für ℓ = 1 (ursprüng­lich für engl. ‚princi­pal‘, ‚Haupt‘-Zustand)
  • d für ℓ = 2 (ursprüng­lich für ‚dif­fus‘)
  • f für ℓ = 3 (ursprüng­lich für ‚fun­da­men­tal‘) u.s.w.

Die Orbi­tale in der Neben­quan­ten­zahl ℓ 

Die Form des Orbi­tals in einem Atom hängt maß­geb­li­che von der Neben­quan­ten­zahl ℓ ab:

  • ℓ = 0 Kugel-förmig
  • ℓ = 1 Han­tel- bzw. Torus-förmig
Dar­stel­lung der Orbi­tale in den Haupt­quan­ten­zah­len n = 1 und 2. mit zuge­hö­ri­gen Neben­quan­ten­zah­len ℓ. Oben: Zwei­di­men­sio­nale Dar­stel­lung der Wahr­schein­lich­keits­dichte \rho_{n,l}(\varphi, \theta) = |\Psi_{n,l}( \varphi, \theta )|^2 . Unten: Räum­li­che Dar­stel­lung der Orbi­tale. Kugeln geben Raum­be­rei­che an, in denen sich ein Elek­tron mit einer Wahr­schein­lich­keit von 95% aufhält. 

Beim Was­ser­stoff­atom (und nur dort) ist die Ener­gie des Atoms unab­hän­gig von der Neben­quan­ten­zahl ℓ. Man sagt, das Ener­gie­ni­veau zur Haupt­quan­ten­zahl n ist (2n – 1)-fach ent­ar­tet. Beim Natrium-Atom wird diese Ent­ar­tung auf­ge­ho­ben und es zeigt sich eine Fein­struk­tur im Spek­trum des Natri­um­damp­fes der­art, dass die Gelbe Linie tat­säch­lich aus zwei eng benach­bar­ten Spek­tral­li­nien besteht.

Sche­ma­ti­sche Dar­stel­lung der Ener­gie­ni­veaus. Die Buch­sta­ben k, l, m, bezeich­nen die ers­ten drei Scha­len.
a) Ent­ar­tung der Ener­gie­ni­veaus bei Was­ser­stoff-ähn­li­chen Ato­men.
b) Fein­struk­tur: Auf­he­bung der Ent­ar­tung durch Wech­sel­wir­kung des Elek­tro­nen-Spins mit dem Bahn­dreh­im­puls ℓ > 0.
Gelb: Über­gänge zu der Natrium-Dop­pel­li­nie. Bild­quelle: Modi­fi­ziert nach Wiki­pe­dia.

Mathe­ma­tisch beschreibt die Neben­quan­ten­zahl den Win­kel-Anteil (Azi­mu­t­hal-Anteil) der Wel­len­funk­tion \Psi_{n,l}( \varphi, \theta ) .

Die Mem­bran schwingt mit n = 2 und l = 1
Die Mem­bran schwingt mit n = 3 und l = 2

Vie­len Dank an das Mole­ku­la­rium aus der Schweiz für die attrak­ti­ven Animationen.

Merke: Quan­ten­me­cha­nisch beschreibt die Magnet­quan­ten­zahl die Ori­en­tie­rung der Orbi­tale rela­tiv zu einem äuße­ren Magnet­feld. Dabei kann die Magnet­quan­ten­zahl m wie­derum nur ganz­zah­lige Werte anneh­men, die auch nega­tiv sein dür­fen. Sie wird jedoch durch die Neben­quan­ten­zahl ℓ  beschränkt: – ℓ ≤ m ≤ ℓ.

Anor­ma­ler Zee­man-Effekt. Auf­spal­tung der Linien D1 und D2 des neu­tra­len Na-Atoms, Über­gänge 2S½-2P½ und 2S½-2P3/2, im Magnet­feld in 4 bzw. 6 Kom­po­nen­ten. Ori­gi­ni­al­auf­nahme von Pie­ter Zeeman.

Schon im Jahre 1896 hat Pie­ter Zee­man nach­ge­wie­sen, dass das Spek­trum von Natri­um­dampf durch starke Magnet­fel­der beein­flusst wird. Drei Jahre spä­ter gelang Hen­drik Antoon Lorentz eine Erklä­rung unter der Annahme, dass das von Ato­men aus­ge­sandte Licht durch bewegte Elek­tro­nen erzeugt wird. 1902 erhiel­ten beide dafür den Nobel­preis für Physik.

Halb-klas­sisch stel­len wir und vor, dass nur Elek­tro­nen, die einen Dreh­im­puls ℓ ≠ 0 haben, ein magne­ti­sches Moment besit­zen, wel­ches sich mit einem äuße­ren Magnet­feld in Wech­sel­wir­kung tritt.

Die Orbi­tale in der Magnet­quan­ten­zahl m

Wir beob­ach­ten nur die Orbi­tale (m = 0), die in Rich­tung des Magnet­felds ori­en­tiert sind. Sol­che, die in einer dazu ortho­go­na­len Ebene lie­gen (m = ± 1), kön­nen nicht beob­ach­tet wer­den. Sie ste­hen in Super­po­si­tion, d.h sie über­la­gern sich zu einem Torus, vgl. auch die Abbil­dung zu der Neben­quan­ten­zahl ℓ und im Merk­kas­ten ganz oben.

Die Mem­bran schwingt mit n = 2, l = 1 und m = ± 1

Auf­gabe

  1. Beschreibe den Ver­such im Video und deute die Beob­ach­tung quantenmechanisch.
  2. Zee­man hat seine Beob­ach­tun­gen mit einem Git­ter-Spek­tro­skop und einem Mikro­skop durch­ge­führt. Skiz­ziere einen mög­li­chen Versuchsaufbau.

Merke: Der Spin (von engl. spin, Dre­hung, Drall) ist eine rein quan­ten­me­cha­ni­sche Eigen­schaft von Ele­men­tar­teil­chen. Der Spin ist jedoch ver­ant­wort­lich für Phä­no­mene, die sich auch in der makro­sko­pi­schen Welt offen­ba­ren, wie z.B. die ver­schie­de­nen For­men des Magne­tis­mus. Der Spin wurde von Stern und Ger­lach im Jahre 1922 mit neu­tra­len Sil­ber­ato­men nachgewiesen.

Der Spin kann je nach Teil­chen­art unter­schied­li­che Viel­fa­che des sog. redu­zier­ten Planck’schen Wir­kungs­quan­tums \hbar =\frac {h}{2\pi } (sprich „ha quer”):

  • Fer­mio­nen, z.B. Elek­tro­nen, Pro­to­nen, Neu­tro­nen haben immer einen halb­zah­li­gen Spin von s = { - \frac{1}{2}; + \frac{1}{2}} \cdot \hbar . Anschau­lich sagen wir auch Spin-up oder Spin-Down. Für Fer­mio­nen gilt das Pauli-Prin­zip.
  • Boso­nen, z.B Pho­to­nen oder zusam­men­ge­setzte Quan­ten­ob­jekte wie Atom­kerne mit einer gera­den Nukleo­nen­zahl haben einen ganz­zah­li­gen Spin von s = {0; ±1; ±2; …} \cdot \hbar . Anschau­lich sagen wir auch Spin-up oder Spin-Down. Für Boso­nen gilt das Pauli-Prin­zip nicht.

Obwohl die klas­si­sche Vor­stel­lung von einem rotie­ren­den Teil­chen nach heu­ti­ger Sicht­weise falsch ist, kann die­ses Bild doch beim Ver­ständ­nis hel­fen. Der Spin ver­hält sich phy­si­ka­lisch wie der Dreh­im­puls. Außer­dem gilt der Erhal­tungs­satz für den Gesamt­dreh­im­puls nur für die Summe aus (klas­si­schem) Bahn­dreh­im­puls und Spin eines Systems. 

Stern-Ger­lach-Ver­such

Ein Video der Uni Göttingen
Schöne Dar­stel­lung des Ver­suchs­auf­baus mit etwas abs­trak­te­rer Deu­tung der Uni Münster.

Auf­ga­ben

  1. Bes­schreibe den Stern-Ger­lach-Ver­such im Heft.
  2. Erkläre, warum die Lorentz­kraft bei dem Ver­such keine Rolle spielt und, warum ein inho­mo­ge­nes Magnet­feld ein­ge­setzt wer­den muss.

Die Haupt­quan­ten­zahl im Wellenbild

Bis­her haben wir nur ein­di­men­sio­nale Wel­len­funk­tio­nen ken­nen­ge­lernt, die sich wie eine Gitar­ren­saite mit fes­ten Rän­dern ver­hal­ten. Die Wel­len­funk­tion des Was­ser­stoff­atoms ist aller­dings ein räum­li­ches Gebilde, daher benö­ti­gen wir drei Koor­di­na­ten zu ihrer Beschrei­bung. Man sagt die Wel­len­funk­tion hat drei Frei­heits­grade, die Saite nur einen Frei­heits­grad für die Schwingungen. 

Mit der Zunahme der Frei­heits­grade nimmt auch die Dimen­sion der Kno­ten in unse­ren Wel­len­funk­tio­nen zu. Zur Erin­ne­rung: Die Kno­ten sind die Raum­be­rei­che einer ste­hen­den Welle, die sich nicht bewegen

  • Bei einem Frei­heits­grad gibt es Kno­ten­punkte, z.B. bei der schwin­gen­den Saite.
  • Bei zwei Frei­heits­gra­den gibt es Kno­ten­li­nien, z.B. bei der schwin­gen­den Glas­platte oder Membran.
  • Bei drei Frei­heits­gra­den gibt es Kno­ten­flä­chen, z.B. bei schwin­gen­den Seifenblasen.

Merke: Bei Sys­te­men mit offe­nen Rän­dern ist die Haupt­quan­ten­zahl n gleich der Anzahl der Kno­ten einer ste­hen­den Welle.

Hin­weis: Bei fes­ten Rän­dern, z.B. bei der schwin­gen­den Saite oder beim Poten­ti­al­topf ist die Haupt­quan­ten­zahl um eins gerin­ger als die Zahl der Kno­ten. Das Was­ser­stoff­atom ist jedoch ein Sys­tem mit offe­nen Rän­dern mit der Rand­be­din­gung \lim_{r\rightarrow\infty}\Psi(r)=0 . Dort ist die Haupt­quan­ten­zahl gleich der Knotenzahl.

Chlad­ni­sche Klangfiguren

Schwin­gende Plat­ten und Mem­bra­nen sind ein anschau­li­ches zwei­di­men­sio­na­les Modell für radiale und azi­mu­tale Wellenformen. 

Hin­weis: Fach­sprach­lich wer­den die unter­schied­li­chen Schwin­gungs­for­men im Video als Moden bezeich­net.

Als Chlad­ni­schen Klang­fi­gu­ren wer­den die Mus­ter bezeich­net, die auf einer mit Sand bestreu­ten schwin­gen­den Platte ent­ste­hen, benannt nach Ernst Flo­rens Fried­rich Chladni, der sie im Jahre 1787 erst­ma­lig beschrie­ben hat. 

Exkurs: Kugel­ko­or­di­na­ten

Kugel­ko­or­di­na­ten­sys­tem mit den Koor­di­na­ten r, \varphi, \theta . Bild­quelle: Wikipedia

Wir beschrei­ben den Ort \vec r mit den Kugel­ko­or­di­na­ten1) r, \varphi, \theta , denn diese berück­sich­ti­gen die Sym­me­trie des Was­ser­stoff­atoms. r bezeich­net den Abstand vom Ursprung und \varphi, \theta sind Win­kel zwi­schen der x- und der z‑Achse.

Der Poten­ti­alt­rich­ter des Was­ser­stoff­atoms hängt nur von dem Abstand r , aber nicht von den Win­keln ab, genau wie die Wel­len­funk­tion \Psi(r) . Diese Funk­tion nennt man daher Radi­al­teil der Wel­len­funk­tion.

Lei­der ist die Wel­len­funk­tion damit noch nicht voll­stän­dig beschrie­ben. Es gibt auch Anteile, die von dem Win­kel \theta abhän­gen. Diese wer­den auch als azi­mu­ta­ler Teil der Wel­len­funk­tion bezeich­net. Aus Sym­me­trie­grün­den gibt es jedoch keine Abhän­gig­keit vom Win­kel \varphi .

1) Hin­weis: Die Län­gen- und Brei­ten­grade auf dem Glo­bus sind nichts ande­res als die Kugel­ko­or­di­na­ten \varphi, \theta .

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