Das Okta­eder des Grauens

Die Geo­me­trie­auf­gabe im Zen­tral­ab­itur 2008 hat zahl­rei­che Pro­teste in NRW her­vor­ge­ru­fen und die Lan­des­re­gie­rung hat dar­auf­hin ent­schie­den, dass Prüf­linge ihre LK-Klau­sur auf frei­wil­li­ger Basis wie­der­ho­len durften.

Hier gibt es einige Aus­züge aus die­ser Aufgabe.

Von dem in der Abbil­dung 1 dar­ge­stell­ten Okta­eder ABCDS₁S₂ sind die Eck­punkte A(13|−5|3), B(11|3|1), C(5|3|7), S₁(13|1|9) und S₂(5|−3|1) gege­ben. Die­ses Okta­eder ist dem abge­bil­de­ten Wür­fel mit den Ecken P₁ bis P₈ einbeschrieben.

Auf­ga­ben

1. Ach­tung: Die Sei­ten des Wür­fels sind nicht par­al­lel zu den Koordinaten­achsen. Skiz­ziere zunächst die Abbil­dung ohne Koor­di­na­ten­sys­tem ins Heft. Tipps: 
   • Achte dar­auf, das die Wür­fel­ecke P₆ nicht genau vor dem Mit­tel­punkt der Rück­seite liegt. Dann kann man die Form des Okta­eders nicht gut erkennen.
   • Kon­stru­iere die Sei­ten­mit­ten des Wür­fels für die Eck­punkte des Oktaeders. 
   • Über­trage auch die Koor­di­na­ten der gege­be­nen Punkte ins Heft. Arbeite sorg­fäl­tig und ver­meide Über­tra­gungs­feh­ler.
2. Begründe mit Ver­schie­bungs­vek­to­ren: Die Kante des Okta­eder \overline{AS_2}  ist par­al­lel zu \overline{S_1 C}  und \overline{AS_1}  ist par­al­lel zu \overline{S_2 C} .
3. Bestimme die Koor­di­na­ten von Punkt D. Tipp: Nutze einen geeig­ne­ten Verschiebungsvektor.
4. Bestimme die Koor­di­na­ten der Eck­punkte des Wür­fels P₁ bis P₈ und berechne seine Kan­ten­länge. Kon­trolle: P₈(15|-7|11).
5. Zeichne das Okta­eder des Grau­ens (mit umschrei­ben­dem Wür­fel; 2 LE = 1 cm). 

Lösungen 1 - 3

Lösung 4