Das Bohr­sche Atommodell

Das Bohr­sche Atom­mo­dell ist das erste weit­hin aner­kannte Atom­mo­dell, das Ele­mente der Quan­ten­me­cha­nik ent­hält. Es wurde 1913 von Niels Bohr ent­wi­ckelt. Atome bestehen bei die­sem Modell aus einem schwe­ren, posi­tiv gela­de­nen Atom­kern und leich­ten, nega­tiv gela­de­nen Elek­tro­nen, die den Atom­kern auf geschlos­se­nen Bah­nen umkrei­sen. Durch Pos­tu­late setzte Bohr inner­halb des Modells die klas­si­sche Phy­sik teil­weise außer Kraft.

Trotz eini­ger Män­gel besticht das Bohr­sche Atom­mo­del durch seine Anschau­lich­keit und die zutref­fende Beschrei­bung von Was­ser­stoff-ähn­li­chen Ato­men mit genau einem Elektron.

Die Bohr­schen Postulate

Elek­tro­nen bewe­gen sich auf kreis­för­mi­gen Bah­nen ver­schie­de­ner Radien r_n um den Kern. Beim Quan­ten­sprung wird ein Pho­ton cha­rak­te­ris­ti­scher Wel­len­länge emit­tiert oder absorbiert.

Die For­mu­lie­rung der Bohr­schen Pos­tu­late hat sich seit ihrer Ver­öf­fent­li­chung durch Bohr im Jahre 1913 immer wie­der ver­än­dert – zum Teil durch Bohr selbst. Hier soll nur eine sinn­volle Zusam­men­fas­sung der wich­tigs­ten Gedan­ken erfolgen:

Sta­tio­näre Zustände

Elek­tro­nen kön­nen sich nicht auf allen klas­sisch mög­li­chen Bah­nen auf­hal­ten, son­dern nur auf ganz bestimm­ten aus­ge­wähl­ten Bah­nen. Auf die­sen Bah­nen erzeugt es keine elek­tro­ma­gne­ti­sche Strah­lung, son­dern behält seine Ener­gie bei. Dies sind die sta­tio­nä­ren Zustände des Atoms, die auch als Ener­gie­ni­veaus bezeich­net wer­den. Die Quan­ten­zahl n num­me­riert die mög­li­chen sta­tio­nä­ren Zustände begin­nend mit dem Grund­zu­stand n = 1. Alter­na­tiv wer­den die Ener­gie­ni­veaus auch als Scha­len bezeich­net und mit den Buch­sta­ben K, L, M und N bezeich­net. Die K‑Schale ent­spricht dabei dem Grundzustand.

Quan­ten­sprung

Ein Elek­tron kann von einem sta­tio­nä­ren Zustand in einen ande­ren sprin­gen. Die­ser als Quan­ten­sprung bezeich­nete Vor­gang liegt außer­halb des Gül­tig­keits­be­reichs der klas­si­schen Mecha­nik und der Elek­tro­dy­na­mik. Beim Quan­ten­sprung zwi­schen zwei Ener­gie­ni­veaus, wird elek­tro­ma­gne­ti­sche Strah­lung emit­tiert oder absor­biert. Dabei wird die Fre­quenz f der Strah­lung nicht durch die Umlauf­fre­quenz des Elek­trons bestimmt, son­dern aus­schließ­lich durch die Ener­gie­dif­fe­renz \Delta E der bei­den Zustände nach der Ein­stein-For­mel \Delta E = h\cdot f .

Quan­ti­sie­rung

Für die mathe­ma­ti­sche Bear­bei­tung sei­nes Modells führte Bohr eine Qua­ni­sie­rungs­be­din­gung ein. Bohr for­derte, dass der Bahn­dreh­im­puls L = r_n\cdot m_e\cdot v_n =n\cdot \frac{h}{2\pi} eines Elek­trons ein ganz­zah­li­ges Viel­fa­ches von \frac{h}{2\pi} sein sollte. Hier­bei sind r_n der Radius der Bahn n , v_n die Geschwin­dig­keit des Elek­trons auf die­ser Bahn und m_e die Elek­tro­nen­mas­sen. Eine phy­si­ka­li­sche Begrün­dung für diese Annahme konnte Bohr nicht lie­fern. Sie wird ledig­lich dadurch gerecht­fer­tigt, dass Beob­ach­tun­gen bei Was­ser­stoff-ähn­li­chen Ato­men und Ionen somit exakt mit dem Bohr­schen Modell übereinstimmen. 

Auf­ga­ben

  1. Leite her, dass für den Radius der Bahn im sta­tio­nä­ren Zustand n gilt: r_{n}={\frac {\varepsilon _{0}\cdot h ^{2}}{\pi \cdot m_e\cdot e^{2}}}\cdot n^2 . Berechne auch den sog. Bohr­schen Radius des Was­ser­stoff­atoms für den Grund­zu­stand n=1 .
  2. Zeige, dass für die Geschwin­dig­keit eines Elek­trons im sta­tio­nä­ren Zustand n gilt: v_{n}={\frac {e ^{2}}{2 \varepsilon _{0}\cdot h }}\cdot \frac{1}{n} .
  3. Zeige, dass für die Gesamt­ener­gie E_n = E_{pot} + E_{kin} gilt: E_n = - \frac{e^4 \cdot m_e}{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^2}} \cdot \frac{1}{n^2} . Berechne auch die Ener­gie im Grund­zu­stand n = 1 in der Ein­heit eV.
  4. Zeige, dass Bohrs Quan­ti­sie­rungs­be­din­gung mit der De-Bro­glie-Wel­len­länge ver­träg­lich ist.
  5. Stelle die Stär­ken und die Schwä­chen des Bohr­schen Modells gegenüber.
Im Wel­len­mo­dell lässt sich die Bohr­sche Quan­ti­sie­rung auch dadurch plau­si­bel machen, dass der Umfang 2\pi\cdot r_n einer Bahn ein ganz­zah­li­ges Viel­fa­ches der De-Bro­glie-Wel­len­länge \lambda = \frac{h}{p} ist.

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