Aufgaben im Sachkontext haben fast immer einen eingeschränkten Definitionsbereich. Hier wollen wir untersuchen, warum das so ist und, welche Auswirkungen der eingeschränkte Definitionsbereich auf Grundaufgaben der Analysis hat.
Stichworte: Lokale und globale Extrema, Untersuchung der Randwerte auf Randextrema.
In Düsseldorf in der Altstadt zeigt die historische Pegeluhr seit über 100 Jahren den Pegel des Rheins an. Der kleine Zeiger gibt den Pegel in Metern an und der große in Dezimetern.
Heute werden die Pegelstände elektronisch erfasst und man kann sie online z.B. auf der Homepage der Stadt Düsseldorf anschauen.
In dieser Aufgabe wird der Pegelstand des Rheins über einen Zeitraum von ca. 5 Tagen betrachtet und durch eine ganzrationale Funktion modelliert.
Modellierung
Gegeben ist die Funktion
h(t)=-\frac{4}{27}t^3+t^2-2t+5,\quad t\in \mathbb{R}.Hierbei ist die Variable t eine Maßzahl für die Zeit in Tagen nach Beobachtungsbeginn und h(t) eine Maßzahl für den Pegelstand gemessen in Metern. Der Graph der Funktion ist oben zusammen mit tatsächlichen Messwerten dargestellt.
Es zeigt sich, dass die Modellfunktion die Messwerte in einem Zeitbereich 1 \le t\le4 gut wiedergibt, während die Messwerte außerhalb dieses Definitionsbereichs deutlich abweichen. Daher ist es sinnvoll, den Definitionsbereich einzuschränken, um mit der Funktion den Sachverhalt angemessen modellieren zu können.
Verschiedene Definitionsbereiche
Je nach Situation kann der Definitionsbereich noch weiter eingeschränkt werden, z.B. um die Entwicklung in einem kürzeren Zeitbereich zu untersuchen. Interessant sind in diesem Kontext die Höchst- und Tiefstände des Rheins, die einen Einfluss auf den Hochwasserschutz und die Schifffahrt haben können. Ebenfalls interessant ist die Änderungsrate des Pegels, denn diese kann bei der Prognose der zukünftigen Entwicklung dienen.
Extrempunkte mit eingeschränktem Definitionsbereich
Die Galerie oben zeigt den Graphen der Funktion h(t) in den vier verschiedenen Definitionsbereichen:
D1: 1 ≤ t ≤ 4; D2: 1 ≤ t ≤ 3,5; D3: 1 ≤ t ≤ 2,6; D4: 1,6 ≤ t ≤ 2,6
Aufgaben
- Lies in der Galerie nach Augenmaß die Stellen ab, an denen der Funktionsgraph jeweils den höchsten und den tiefsten Funktionswert hat. Notiere die Stellen zu jedem der vier Definitionsbereiche im Heft.
- Berechne die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) wie gewohnt mit der notwendigen und der hinreichenden Bedingung. Vergiss nicht, die Funktionswerte zu berechnen. Dokumentiere deine Lösung im Heft. Diese Berechnung muss nur einmal durchgeführt werden.
- Führe für jeden der vier Definitionsbereiche eine Randuntersuchung durch, indem du die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs berechnest und mit den Funktionswerten der Extrempunkte vergleichst. Erst dann kannst du die globalen Extrema des Pegelstandes im jeweiligen Definitionsbereich angeben. Notiere die Ergebnisse der Untersuchung im Heft.
Hinweis: Ignoriere Ergebnisse der notwendigen Bedingung, die außerhalb des Definitionsbereichs liegen. Es kann vorkommen, dass kein lokales Extremum im Inneren des Definitionsbereiches liegt. In diesem Fall liegen die Extrema beide am Rand.
Definition: Globale Extrema
Bei eingeschränktem Definitionsbereich können die größten oder kleinsten Funktionswerte an den Stellen der lokalen Hoch- oder Tiefpunkte liegen oder an den Rändern des Definitionsbereiches.
Die größten bzw. kleinsten Funktionswerte im Definitionsbereich nennen wir globale Maxima bzw. globale Minima, zusammengefasst: globale Extrema.
Synonym spricht man auch von absoluten Extrema.
Nur Q1: Bestimmung der stärksten Änderung des Pegels
Beim Pegelstand ist die Änderungsrate eine wichtige Größe. Die Maßzahl hierfür ist die Ableitung h'(t) . Sie wird in dieser Aufgabe in Metern pro Tag angegeben.
Merke:
Die Maßeinheit der Änderungsrate ist immer der Quotient:
{\frac{\text{Maßeinheit\ auf\ der\ vertikalen\ Achse}}{\text{Maßeinheit\ auf\ der\ horizontalen\ Achse}}} .
Genau wie die Funktion h(t) können wir auch die Änderungsrate h'(t) auf Extremstellen untersuchen.
Aufgaben
- Betrachte die Galerie und entscheide für jeden der vier Definitionsbereiche nach Augenmaß, an welchen Stellen der Pegel am stärksten ansteigt, am stärksten abfällt, sich am stärksten ändert.
- Führe die Randuntersuchung jeweils für die drei weiteren Definitionsbereiche durch.
Rechnerische Vorgehensweise
Siehe auch den Beitrag zum GTR-Einsatz hier im Blog.
Notwendige Bedingung: Die Ableitung h''(t) von h'(t) muss gleich Null sein, d.h.
h''(t)=\left( h'(t) \right)'=0\\
h''(t)=\left( -\frac{4}{9}\cdot t^2+2\cdot t-2 \right)'=0\\
h''(t)=-\frac{8}{9}\cdot t+2=0\\[5pt]
\Rightarrow t=\frac{9}{4}=2{,}25.Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel (VZW) von h”(t) an der Stelle t = 2,25:
h''(2)=-\frac{8}{9}\cdot 2+2=\frac{2}{9} >0\\[5pt]
h''(3)=-\frac{8}{9}\cdot 3+2=-\frac{10}{3}<0.h''(t) hat bei t = 2,25 einen Vorzeichenwechsel + -> -, d.h. h'(t) hat an dieser Stelle einen lokalen Hochpunkt.
Berechnung der größten Änderungsrate: Wir setzen t = 2,25 in h'(t) ein.
h'(2{,}25)=-\frac{4}{9}\cdot 2{,}25^2+2\cdot 2{,}25-2 = 0{,}25Fehlerquelle: Nicht in h(t) einsetzen.
Randuntersuchung: Genau wie bei den Globalen Extrema des Pegelstandes kann der stärkste Anstieg oder der stärkste Abfall des Pegels am Rand des Definitionsbereichs liegen. Wir untersuchen h'(t) an den Rändern des Definitionsbereiches, hier D: 1 ≤ t ≤ 4 :
h'(1)=-\frac{4}{9}\cdot 1^2+2\cdot 1-2 = -\frac{4}{9}\approx -0{,}44\\[5pt]
h'(4)=-\frac{4}{9}\cdot 4^2+2\cdot 4-2 = -\frac{10}{9}\approx -1{,}11Antwort: Der stärkste Anstieg des Pegels erfolgt nach 2,25 Tagen mit ca. 0,25 Metern pro Tag.
Fehlerquelle: Die stärkste Änderung des Pegels erfolgt hingegen nach 4 Tagen mit einer Abnahme von ca. 1,1 Metern pro Tag. Das muss je nach Aufgabenstellung unterschieden werden.
Neueste Kommentare