Abstand eines Punk­tes zu einer Geraden

Als Abstand eines Punk­tes zu einer Gera­den bezeich­net man die Länge der kür­zes­ten Ver­bin­dung zwi­schen dem Punkt und der Gera­den. Diese kür­zeste Ver­bin­dung fin­det man, indem man ein Lot von dem Punkt auf die Gerade fällt.

Um den Abstand eines exter­nen Punk­tes P von einer Gera­den zu bestim­men, sucht man den Lot­fuß­punkt F. Der Ver­bin­dungs­vek­tor von P zu F steht ortho­go­nal zu dem Rich­tungs­vek­tor \color{green} \bf{ \overrightarrow {v} } .

Rechen­bei­spiel Schritt für Schritt erklärt

Gege­ben sei der Punkt P(10|5|7) und die Gerade

g: \overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}.

Gesucht ist der Abstand von P zu g.

Schritt 1: Der Orts­vek­tor zum Fuß­punkt F liegt auf der Gerade g:

\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}-2+4r\\1+r\\7-3r\end{pmatrix}

Es ist hilf­reich, die gesamte Gera­den­glei­chung mit Stütz­vek­tor und Rich­tungs­vek­tor in eine gemein­same Klam­mer zu schreiben.

Schritt 2: Dif­fe­renz­vek­tor zwi­schen P und F.

\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-2+4r\\1+r\\7-3r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\5\\7\end{pmatrix}\\[5pt]
\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix}

Schritt 3: Orthogonalitätsbedingung:

\overrightarrow{PF}*\vec v =0\\[5pt]
\begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 4\\1\\-3\end{pmatrix}=0\\[5pt]
-48+16r-4+r+9r=0\\
-52+26r=0\\
r=2.

Schritt 4: Fuß­punkt und Abstand bestim­men. Wir set­zen r = 2 in \overrightarrow {OF} und \overrightarrow {PF} ein:

\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}-2+4\cdot 2\\1+2\\7-3\cdot 2\end{pmatrix} \Rightarrow\\[5pt]
F(6|3|1).
\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-12+4\cdot 2\\-4+2\\-3\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\-6\end{pmatrix}\Rightarrow\\[5pt]
d=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-6)^2}\\[5pt]
=\sqrt{56}\approx 7{,}48\text{ LE}

Geschafft!!

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