Abhän­gig­keit von Merk­ma­len und bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bei dem Anti­kör­per­test hängt das Test­ergeb­nis erwar­tungs­ge­mäß sehr stark davon ab, ob eine Test­per­son bereits immun ist oder nicht. Ande­rer­seits sollte das Test­ergeb­nis von ande­ren Merk­ma­len nicht abhän­gen, z.B. vom Geschlecht der Testperson.

In die­sem Bei­trag wol­len wir unter­su­chen, wie die Abhän­gig­keit von Merk­ma­len an Baum­dia­gram­men und rech­ne­risch nach­ge­wie­sen wer­den kann.

Im Baum­dia­gramm wer­den in den bei­den Stu­fen Wahr­schein­lich­kei­ten für das Auf­tre­ten der Aus­prä­gun­gen zweier (oder meh­re­rer) Merk­male dar­ge­stellt. In man­chen Fäl­len hän­gen die Wahr­schein­lich­kei­ten der zwei­ten Stufe davon ab, wel­che die Aus­prä­gung sich in der ers­ten Stufe ein­stellt. In der Medi­zin, der Gesell­schafts­wis­sen­schaft oder der Wirt­schaft inter­es­siert man sich für sol­che Abhängigkeiten. 

Wir wol­len die Beob­ach­tung in der Gale­rie oben ver­all­ge­mei­nern und betrach­ten zwei Merkmale:

  • A mit den Aus­prä­gun­gen A und \overline A und
  • B mit den Aus­prä­gun­gen B und \overline B .

Kri­te­rium für die Abhän­gig­keit von Merkmalen

Merk­mal B ist von Merk­mal A unab­hän­gig, wenn die Pfad­wahr­schein­lich­kei­ten in den Teil­bäu­men der 2. Stufe iden­tisch sind.
Merk­mal B ist abhän­gig von Merk­mal A, wenn die Teil­bäume unter­schied­li­che Pfad­wahr­schein­lich­kei­ten aufweisen.

Hin­weis: Es ist nicht nötig, das umge­kehrte Baum­dia­gramm zu unter­su­chen: Wenn Merk­mal B von Merk­mal A (un-) abhän­gig ist, so ist auch Merk­mal A (un-) abhän­gig von Merk­mal B.

Bei­spiele: Siehe auf Seite 206 im Buch jeweils ein Bei­spiel für Unab­hän­gig­keit und Abhän­gig­keit von Merkmalen.

Ein Grund­kurs Mathe­ma­tik wird von 10 Mäd­chen und 12 Jun­gen besucht. Ins­ge­samt 9 Kurs­teil­neh­me­rin­nen und Kurs­teil­neh­mer geben an, dass sie Mathe mögen. Sechs Mäd­chen geben an, dass sie Mathe mögen.

  1. Stelle die Daten mit rela­ti­ven Häu­fig­kei­ten (Brü­che) als Vier­fel­der­ta­fel dar.
  2. Zei­chen ein Baum­dia­gramm mit dem Geschlecht als erste Stufe und beschrifte es voll­stän­dig (ins­ge­samt 10 Wahrscheinlichkeiten).
  3. Begründe mit dem Baum­dia­gramm, ob die Vor­liebe für Mathe vom Geschlecht abhängt.

Unbe­dingte Wahrscheinlichkeiten

Bedingte Wahr­schein­lich­kei­ten

Die beding­ten Wahr­schein­lich­kei­ten las­sen sich z.B. aus den Anga­ben einer Vier­fel­der­ta­fel berech­nen. Dazu wen­den wir die Pfad­mul­ti­pli­ka­ti­ons­re­gel z.B. auf den obers­ten Pfad im Baum­dia­gramm an. Dort gilt P(A)\cdot P_A(B)=P(A \cap B). Wir divi­die­ren durch P(A) und es folgt:

Bei­spiel

Wir zeich­nen die Baum­dia­gramme meis­tens hori­zon­tal. Du kannst sie aber auch ver­ti­kal zeich­nen, wie im Video.

  1. Notiere den Satz von Bayes im Heft. Du wirst ihn bis zum Abitur benö­ti­gen. Notiere die vier mög­li­chen Kombinationen.
  2. Bear­beite im Buch auf Sei­ten 208 bis 209 die Auf­ga­ben 3 bis 6 schrift­lich im Heft.

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3 Kommentare

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Guten Tag Herr Fuchs,
bei der Auf­ga­ben 5 auf dem Buch Seite 209, warum sind die Unfäl­len mit und ohne Alko­hol­ein­fluss nicht zusam­men in 100%?
Also da 24,6% ohne und 68% mit sind zusam­men 92,6% doch?

Mit freund­li­chen Gruß

Hallo Zel­ong,

bei die­sen Auf­ga­ben musst du den Text ganz genau lesen: 

Die erste Stufe im Baum­dia­gramm ist die Aus­prä­gung mit Alko­hol oder ohne Alko­hol. Die Zweite Stufe ist die Tageszeit:

Es pas­sie­ren 24,6% der Unfälle ohne Alko­hol zwi­schen 18 Uhr und 4 Uhr mor­gens. Also 75,4% ohne Alko­hol zwi­schen 4 Uhr mor­gens und 18 Uhr.

Unfälle mit Alko­hol fin­den zu 68% zwi­schen 18 Uhr und 4 Uhr statt, also 32% mit Alko­hol zwi­schen 4 Uhr und 18 Uhr.

Viele Grüße

Jür­gen Fuchs

Guten Tag Herr Fuchs,
danke für ihren Erklä­rung, nun habe ich es verstanden.
Danke Schön!

Mit freund­li­chen Gruß

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